) ) u ε (t, x) = 0, t > 0, x R d, ½º½µ. R d. [ˆV επ d ( 2ξ)e i2ξ x/ε ˆV (2ξ)e i2ξ x/ε],

Transcript

1 Æ Ä ËÁË Ç ÌÀ ÇÍ Ä Ë ÌÌ ÊÁÆ Ë ÁÆÌÁÄÄ ÌÁÇÆ Ç Ï Î Ë ÁÆ Ê Æ ÇÅ Å Á ÍÁÄÄ ÍÅ Ä Æ ÇÄÁÎÁ Ê ÈÁÆ Í ØÖ Øº À Ö ÕÙ ÒÝ Û Ú ÔÖÓÔ Ø Ò Ò ÐÝ Ó ÐÐ ØÓÖÝ Ñ Ö Ó Ø Ò ÑÓ Ð Ý Ö Ø Ú ØÖ Ò Ö ÕÙ Ø ÓÒ Ø Ø Ö Ø ÔÖÓÔ Ø ÓÒ Ó Ø Ò Ö Ý Ò ØÝ Ó Ø Û Ú º Ï Ò Ø Ñ ÙÑ Ø Ø Ø ÐÐÝ ÓÑÓ Ò ÓÙ Ú Ö Ò Ø ÓÙÖ Ò Ù Û Ý Ø Ø Ò Ø Ð Ñ Ø Ó Ú Ò Ò Û Ú Ð Ò Ø Ø Û Ú Ò Ö Ý Ò ØÝ ÓÐÚ Ø ÖÑ Ò Ø Ö Ø Ú ØÖ Ò Ö ÕÙ Ø ÓÒº ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û Ö ÒØ Ö Ø Ò Ø Ö Ñ Ò Ò ØÓ Ø ØÝ Ó Ø Ò Ö Ý Ò Øݺ ÅÓÖ ÔÖ ÐÝ Û Û ØÓ ÙÒ Ö Ø Ò ÓÛ Ù ØÓ Ø ØÝ Ô Ò ÓÒ Ø Ø Ø Ø Ó Ø Ö Ò ÓÑ Ñ ÙÑ Ò ÓÒ Ø Ò Ø Ð Ô ¹ Ô ØÖÙØÙÖ Ó Ø ÔÖÓÔ Ø Ò Û Ú Ô Ø º Ì Ò ÐÝ Ó ØÓ Ø ØÝ ÓÖÑ Ð Ø ÒÚÓÐÚ Ò ÓÑÔÐ Ø Ò ¹ ÐÝØ Ð ÐÙÐ Ø ÓÒ º ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û ÓÒ Ö Ø ÔÖÓÔ Ø ÓÒ Ó Û Ú ÑÓ Ð Ý Ð Ö Ë Ö Ò Ö ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ð Ñ Ø Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Ó Ø Û Ú Û Ø Ø ÙÒ ÖÐÝ Ò ØÖÙØÙÖ ØÓ ÓÒ ÓÖ Öº Ï ÐÙÐ Ø Ø ÒØ ÐÐ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ ÓÒ Ø Ø Ø Ð ÑÓÑ ÒØ Ó Ø Ï Ò Ö ØÖ Ò ÓÖѵ ÓÖ Ù Ò Ð Û Ø Ù ÒÚÓÐÚ ÓÙÖØ ¹ÓÖ Ö ÑÓÑ ÒØ Ó Ø Ö Ò ÓÑ ÙØÙ Ø ÓÒ Û Û ÙÑ Ú Ù Ò Ø Ø Ø º ÇÙÖ Ñ Ò Ö ÙÐØ Ø Ð Ò ÐÝ Ó Ø ÒØ ÐÐ ¹ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ò Ø Ø ØØ Ò º Ì Ö ÕÙ Ö Ø Ò ÐÝ Ó ÒÓÒ¹ØÖ Ú Ð Ó ÐÐ ØÓÖÝ ÒØ Ö Ð Û ÖÖ ÓÙØ Ò Ø Ðº ½º ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ì Ò ÐÝ Ó Û Ú ÔÖÓÔ Ø ÓÒ Ò Ö Ò ÓÑ Ñ Ò ÑÔÓÖØ ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ Ö ¹ Ò Ò Ñ ÒÝ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ù ÓÑ Ð Ñ Ò ÓÔ Ý Ø Ð ÓÑÑÙÒ ¹ Ø ÓÒ ÓÖ ÙÒ ÖÛ Ø Ö ÓÙ Ø º Ì Ö Ò ÓÑ Ñ Ò Ö ÐÐÝ ÑÓ Ð Ø Ö Ò ÓÙ Ñ ÙÑ Û Ø Ò ÙÒ ÒÓÛÒ ÙÒ ÖÐÝ Ò Ñ ÖÓ ØÖÙØÙÖ º Ï Ð Ø ÝÒ Ñ Ø Ø Ð Ó Ø Û Ú Ð Ò Ø Ò ÖÐÝ ÓÑÔÐ Ü ÓÑ Ö Ù ÑÓ Ð Ó ÔÖÓÔ ¹ Ø ÓÒ Ô Ò Ò ÓÒ Ø ØÖÙØÙÖ Ó Ø Ö Ò ÓÑ ÙØÙ Ø ÓÒ Ò Ö Ú Ò Ø Ð Ñ Ø Ó Ú Ò Ò Û Ú Ð Ò Ø Ö ÕÙ ÒÝ Ð Ñ Øµº ÁÒ Ø Û ÓÙÔÐ Ò Ö Ñ Ù ÑÓ Ð Ø Ø ÓÖÑ Ó Ö Ø Ú ØÖ Ò Ö ÕÙ Ø ÓÒ ¾½ ¾¾ Ø Ø Ö Ø ÔÖÓÔ Ø ÓÒ Ó Ø Û Ú Ò Ö Ýº Ñ Ø Ñ Ø Ð ÔÖÓÓ Ó Ù Ð Ñ Ø ÙÐØ ÐÐ Ò Ø Ø ÓÙÒ Ó Ö ÓÒÐÝ Ô ÖØ Ð Ò Û Ö º ÁÒ ÑÓ Ø Ø Ö ÓÖÓÙ Ò ÐÝ ÓÒ Û Ø Ò Ø Ô Ö Ü Ð ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ º º ¾ Û ÓÙÖ Û Ò Ø Û Ú ÔÖ Ú Ð Ö Ø ÓÒ Ó ÔÖÓÔ Ø ÓÒ Ò ØØ Ö Ò Ø Ò Ò Ð Ø º ÁÒ Ù Ø ÔÖÓÔ Ø ÓÒ Ö Ý Ë Ö Ò Ö ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø Ö Ò ÓÑ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Û Ø Ø Ñ Ú Ö Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø Ö Ø ÓÒ Ó ÔÖÓÔ Ø ÓÒº Å ÒÝ Ö ÒØ Ö Ñ Ò Ó Ø Ò ÓÖ Ò ØÓ ÓÛ Ø ÙØÙ Ø ÓÒ Ô Ò ÓÒ Ø Ö Ø ÓÒ Ó ÔÖÓÔ Ø ÓÒ ÓÖ Ò Ø Ò Û Ò Ø Ù¹ ØÙ Ø ÓÒ Ö Ø Ö Ò Ø Ö Ø ÓÒ Ó ÔÖÓÔ Ø ÓÒ Ø Ò Ò Ø ØÖ ÒÚ Ö Ö Ø ÓÒ ½

2 ¾ º Ä Æ Çº ÈÁÆ Í Ø ÔÖÓÔ Ø ÓÒ Ö Ø Ö ÔÔÖÓÔÖ Ø Ö Ð Ò Ý Ò ÁØ¹Ë Ö Ò Ö ÕÙ ¹ Ø ÓÒ Ò Û Ø ÔÓØ ÒØ Ð Û Ø ¹ÒÓ Ò Ø ÐÓÒ ØÙ Ò Ð Ö Ø ÓÒ Ò Ö ÙÐ Ö Ò Ø ÓØ Ö ½ ½ Ò Ø Û ÓÙÐ Ò Ö Ñ Ò Û Ò Ø Ñ ÙÑ Ö ÐÝ Ú Ö Ò Ø ÔÖ Ú Ð Ö Ø ÓÒ ÓÚ Ö Ø Ø Ò Ó ÔÖÓÔ Ø ÓÒ Ø Ò ÓÒ Ò Ö Ò ÓÑ Ë Ö Ò Ö ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø Ø Ñ ¹ Ò Ô Ò ÒØ ÔÓØ ÒØ Ðº Ì Ø Ö Ñ Û Ö ÒØ Ö Ø Ò Ò Ø Ô Ô Öº ÁØ Ð Ó Ò ØÙÖ ÐÐÝ Ö Ò Ø ÓÒØ ÜØ Ó ÕÙ ÒØÙÑ Û Ú Ò Ö Ò ÓÑ ÔÓØ ÒØ Ð º Ï Ú ÔÖÓÔ Ø ÓÒ Ø Ö ÓÖ ÑÓ Ð Ý Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ë Ö Ò Ö ÕÙ Ø ÓÒ iε t + ε εv x ε ) ) u ε t, x) =, t >, x R d, ½º½µ Û Ö ε Ø Ö Ð Û Ú Ð Ò Ø Ù Ñ ÒØ Û Ø Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ u ε, ) ÙÒ ÓÖÑÐÝ ÓÙÒ Ò L R d ) Û Ø Ö Ô Ø ØÓ ε ÓÖ d º À Ö V Ñ Ò¹Þ ÖÓ Ù Ò Ø Ø ÓÒ ÖÝ Ö Ò ÓÑ Ð Û Ø ÙØÓÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Rx) := EV x+y)v y) Ò Ø Ñ ¹ Ò Ô Ò Òغ Ì ÝÑ ÓÐ E ÒÓØ Ø Ò Ñ Ð Ú Ö Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ú Ò ÔÖÓ Ð ØÝ Ô Ω, F, P) ÓÒ Û V Ò º Ì ÝÑÔØÓØ Ò ÐÝ Ó ½º½µ Ò Ø Ö Ú Ø ÓÒ Ó Ø Ö Ø Ú ØÖ Ò Ö ÕÙ Ø ÓÒ Ù Ù ÐÐÝ ÓÒ Û Ø Ø ÐÔ Ó Ø Ï Ò Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ó u ε Ò ½ W ε t, x, k) := π) d e ik y u ε t, x εy ) ū ε t, x + εy ) dy, R Û Ö ū ε Ø ÓÑÔÐ Ü ÓÒ Ù Ø Ó u ε Ò W ε ÓÐÚ Ø Ï Ò Ö ÕÙ Ø ÓÒ t W ε + k x W ε = A ε W ε, Û Ø A ε W ε )x, k) := f ε x, k η)w ε x, η)dη, R d i f ε x, ξ) := [ˆV επ d ξ)e iξ x/ε ˆV ξ)e iξ x/ε], ½º¾µ Û Ö ˆV ÒÓØ Ø ÓÙÖ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ó V Û Ø Ø ÓÒÚ ÒØ ÓÒ ˆV k) = e ik x V x)dx. R d Ì Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ó ½º¾µ ÒÓØ Ý Wε x, k) Ø Ï Ò Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ó u ε, )º Ï ÒÓØ Ý a ε := EW ε Ø Ò Ñ Ð Ú Ö Ó W ε º ÓÖ Ù ÒØÐÝ Ö Ô ÐÝ Ý Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ R Ò Ù Ò ÔÓØ ÒØ Ð a ε ÒÓÛÒ ØÓ ÓÒÚ Ö Ò ÔÖÓÔ Ö ÙÒØ ÓÒ Ð ØØ Ò ØÓ Ø ÓÐÙØ ÓÒ a Ó Ö Ø Ú ØÖ Ò Ö ÕÙ Ø ÓÒ ¾ ½½ t a + k x a = σp, k)[a t, x, p) a t, x, k)]dp, ½º µ R d Û Ø ØØ Ö Ò ÖÓ Ø ÓÒ σp, k) = ˆRp k)δ k p ) Û Ö δ Ø Ö ØÖ ÙØ ÓÒ Ò Ø ÔÓÛ Ö Ô ØÖÙÑ ˆRk) Ø ÓÙÖ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Rx)º Ì ÓÚ Ö Ø Ú ØÖ Ò Ö ÕÙ Ø ÓÒ ÒÓÛÒ ØÓ ÓÐ ÓÖ ÓØ Ö Ö Ñ ÛÓÖ ÒÚÓÐÚ Ò Ø Ë Ö Ò Ö ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ Ð Ð Û Ú ÕÙ Ø ÓÒ ¾ ½

3 ¾½ º ÁÒ Ø ÛÓÖ Û Ö ÒØ Ö Ø Ò ÕÙ ÒØ Ý Ò Ø Ö Ñ Ò Ò ØÓ Ø ØÝ Ø Ø Ð Ñ Ø ε Û ÓÒ Ý Ò ÐÝÞ Ò Ø ÓÚ Ö Ò Ó W ε EW ε º Ì ÑÓØ Ú Ø Ý Ñ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò Ö Ð Ø ØÓ Ø Ð ¹ Ú Ö Ò ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó Û Ú ÔÖÓÔ Ø Ò Ò Ö Ò ÓÑ Ñ º Ì ÔÖÓÔ ÖØÝ Ø Ø ÓÖÑ ÐÐÝ Ö W ε EW ε ÑÔÓÖØ ÒØ ÓÖ Ò Ø Ò Ò Ø Ò ÐÝ Ó Ø Ö ÓÙ Ò Ó Ø Ñ ¹Ö Ú Ö Û Ú ½ ½ ÓÖ ÒÚ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ò Û Ø Ñ Ò ÓÙÖ Ó ÒÓ Ö Ø Ý Ø Ö Ò W ε EW ε º Ò ÔÔÖÓÔÖ Ø ØÓÓÐ Ò Ø Ò ÐÝ Ø ÒØ ÐÐ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ø Ø ÒØÖÓ Ù ÐÓÛº Ë ÒØ ÐÐ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒº Ì ÒØ ÐÐ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ J ε ÓÖ ÓÚ Ö Ò ÙÒØ ÓÒµ Ò J ε t, x, k, y, p) = EW ε t, x, k)w ε t, y, p) EW ε t, x, k) EW ε t, y, p), ½º µ Û Ó Û ÓÒÚ Ö Ò ØÓ Þ ÖÓ ÑÔÐ Ø ÓÒÚ Ö Ò Ò ÔÖÓ Ð ØÝ Ø Ò ØÓ Ø Ý Ú Ò ÕÙ Ð ØÝ r > ) P W ε t), ϕ a ε t), ϕ r r J εt), ϕ ϕ, Û Ö ϕ Ö ÙÐ Ö Ø Ø ÙÒØ ÓÒº ÓÒÚ Ö Ò Ò ÔÖÓ Ð ØÝ ÓÛ Ø Ø W ε Ð ¹ Ú Ö Ò ε º ÁÒØÖÓ Ù Ò Ö Ø Ø Ö ØÖ Ò ÔÓÖØ Ñ ÖÓÙÔ J Jht, x, k) := hx tk, k) Ò Ø ÓÔ Ö ØÓÖ D ht, x, k) := t Ø Ò ½º¾µ Ò Ö Ø Ø ÒØ Ö Ð ÕÙ Ø ÓÒ ht s, x sk, k)ds, I D A ε )W ε = JW ε, Û Ó ÓÐÙØ ÓÒ Ò ÓÑÔÓ ÓÖÑ ÐÐÝ Ø ÑÙÐØ ÔÐ ØØ Ö Ò ÜÔ Ò ÓÒ W ε = D A ε ) j JWε. ½º µ j= Ï ÒÒÓØ Ó Ø Ò ÐÓ ÓÖÑ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ø Ø Ð ÑÓÑ ÒØ Ó W ε Ò ÓÒ Ò Ø ÁØ¹Ë Ö Ò Ö Ö Ñ ¾¼ º ÅÓÖ ÓÚ Ö Ø ÓÛÒ Ò Ò Ø ÁØ¹Ë Ö Ò Ö Ö Ñ Ø Ø Ø Ò Ð Ò ÓÙ Ð ØØ Ö Ò ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ú Ø Ð Ò Ø ÖÑ Ó Ø ÒØ ÐÐ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ò Ø Ö ÓÖ Ø Ø Ö ÓÖ Ö ØØ Ö Ò Ø ÖÑ Ö Ò Ð Ð º Ç Ø Ò Ò Ù Ö ÙÐØ Ò ÓÙÖ Ó ÒØ Ö Ø Ö ÕÙ Ö Ø Ò ÐÝ Ó Ø Û ÓÐ Ö ½º µ Û Ó Ö ÓÙØ Ó Ö º Ï Ò Ú ÖØ Ð ÓÖÑ ÐÐÝ ÜÔ Ø Ù ÔÖÓÔ ÖØÝ ØÓ Ø ÐÐ ÓÐ Ø ÔÓÛ Ö Ô ØÖÙÑ Ñ ÐÐ ÒÓÙ Ò ÓÑ ÒÓÖÑ Ó Ø Ø Ø ÖÑ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ ˆR 3 Ò Ø ÒØ ÐÐ Ø ÓÒ Ò Ò Ð Ø ÓÑÔ Ö ØÓ Ø Ø ÖÑ Ð Ò Ö Ò ÕÙ Ö Ø Ò ˆRº ÙÖØ ÖÑÓÖ Ø Ö ÒÓ Ñ ÐÐÒ ÙÑÔØ ÓÒ ÓÒ Ø ÔÓÛ Ö Ô ØÖÙÑ Û Ø ÐÐ Ð Ú Ø Ö Ø Û ØØ Ö Ò Ú ÒØ ÓÑ Ò Ø Ò Ö ÓÖ Ö Ø ÖÑ Ö ÑÓÖ Ö ÙÐ Ö Ò Ò Ø Ð Ø Ö ÑÓ ØÐÝ Ö Ø Ý Ò ÙÐ Ö Ø Ó Ø Ø ÖÑ Ò Ò Ø Ö ½º µº Ê Ø Ò Ò ÓÒÐÝ Ø Ø ÖÑ j Ò Ø Ð ØØ Ö ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ò ÛÖ Ø Ò W ε B + SS + DS,

4 º Ä Æ Çº ÈÁÆ Í Û Ö B = JW ε Ø ÐÐ Ø Ô ÖØ SS = D A ε JW ε Ø Ò Ð ØØ Ö Ò ÓÒ¹ ØÖ ÙØ ÓÒ Ò DS = D A ε JD A ε JW ε Ø ÓÙ Ð ØØ Ö Ò ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Û Ú J ε EB + SS + DS)B + SS + DS)) EB + SS + DS)EB + SS + DS), = J SS + EDSB + SS + DS)) + EB + SS)DS) EDS)EB + SS + DS) EB + SS)EDS). Ë Ò Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ñ Ò¹Þ ÖÓ Ò Ù Ò EDSSS) = Ò Û Ú J ε = J SS + J DS := J SS + EDSDS) EDS)EDS). À Ö J SS Ø ÒØ ÐÐ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ó Ò Ð ØØ Ö Ò º ÁØ Û Ò ÐÝÞ Ò Ò Ø Ñ Ò Ö ÙÐØ Ó Ø Ø ØÙ Ý Ö Ö ÐÐ Ò Ø ÓÒ ¾ Ø Ö Ø ÓÖ Ñ ¾º¾º Ì ÔÙÖÔÓ Ó Ø ÛÓÖ ØÓ Ö ÙÐÐÝ Ò ÐÝÞ Ø ÓÒÚ Ö Ò ÔÖÓÔ ÖØ Ó J DS ØÓ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ø Ø Ó J SS º ÄÓÒ ¹Ö Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ º Ï Ö ÒØ Ö Ø Ò Ö Ò ÓÑ Ð Û Ø ÔÓ ÐÝ ÐÓÒ Ö Ò ÒØ Ö Ø ÓÒ Û Ò ÑÓ Ð Û Ø ÐÓÛÐÝ Ý Ò ÙØÓÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ø Ø Ö ÒÓØ ÒØ Ö Ð º ËÙ Ñ Ö Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ù ÓÔ Ý Ø Ð Óѹ ÑÙÒ Ø ÓÒ Ý ÖÓÐÓ Ý ÓÖ Ð Ö Ñ ÔÖÓÔ Ø ÓÒ Ò ØÙÖ ÙÐ ÒØ ØÑÓ Ô Ö º º ½¼ ½¾ º ÙÑ Ò Rx) x x δ d Û Ø < δ < d ÓÑ Ø Ò Ö Ö Ð Ò Ö ÙÑ ÒØ ÓÛ Ø Ø ˆR Ò ÙÐ Ö Ò Ø ÓÖ Ò Ò Ú Ð k δ º Ì ÑÔÐ Ø Û Ý ØÓ ÑÓ Ð Ù ÔÓÛ Ö Ô ØÖ ØÓ ÓÒ Ö ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Û Ø Ò ÙÐ Ö ÓÙÖ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ö Ø ÓÖ Ò Ó Ø ÓÖÑ ˆRk) = Sk), < δ < d, ½º µ k δ Û Ø S L R d ) C b R d ) C b R d ) ÒÓØ Ò Ø Ô Ó ÓÙÒ ÓÒØ ÒÙÓÙ ÓÒ¹ Ø ÓÒ º Ë Ò < δ < d ˆR ÐÓ ÐÐÝ ÒØ Ö Ð º È Ý ÐÐÝ Ö Ð Þ Ð Ñ ÑÔÓ Ø Ø ˆRk)dk = π) d R) < º Ë ÓÖØ¹Ö Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ ÒØ Ö Ð Rº ÁÒ Ø ˆR ÓÙÒ Ó Û Ñ Ý Ø δ = Ò ½º µº ÁÒ Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ º Ì ÒØ ÐÐ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ ÒÓÛÒ ØÓ ØÖÓÒ ÐÝ Ô Ò ÓÒ Ø ØÖÙØÙÖ Ó Ø Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ º Ï ÓÒ Ö Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ u ε, ) Ó ÐÐ Ø Ò Ø Ö ÕÙ Ò Ó ÓÖ Ö ε Ò Û Ø Ô Ø Ð ÙÔÔÓÖØ Ó Þ ε α ÓÖ α º Ì Ô Ö Ñ Ø Ö α ÕÙ ÒØ Ø Ñ ÖÓ ÓÔ ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ Ó Ø Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒº Ì ÑÔÐ Ø Ü ÑÔÐ ÑÓ ÙÐ Ø ÔÐ Ò Û Ú Ó Ø ÓÖÑ ÓÖ ÔÙÖ Ø Ø µ u ε, x) = x ) χ ε α e i x q ε, ½º µ ε dα Û Ö χ SR d ) Ò S ÒÓØ Ø Ë Û ÖØÞ Ð Ó ÙÒØ ÓÒ º ËÙ Ò Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ ÐÐÓÛ ÓÖ ÔÖ Ö Ø Ö Þ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÒÚ Ö Ò Ó J DS Ò ÑÓØ Ú Ø Ý ÔÖ Ø Ð ÓÒ Ö Ø ÓÒ Ö Ð Ø ØÓ Ñ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ù ÔÔÐ ¹ Ø ÓÒ Ø Ñ ÙÑ Ò Ö ÐÐÝ ÔÖÓ Ý Û Ú Û Ø ÔÖ Ö Û Ú Ú ØÓÖ Ö q ε ÓÖ Ý ÓØÖÓÔ Û Ú Û Ø ÑÓÑ ÒØÙÑ q ε µ Û Ø ÔÖ Ö ÙÔÔÓÖØ Ö Ð Ø ØÓ Ø Ò Û Ø Ó Ø ÒØ ÒÒ Ò Ö Ø Ò Ø Û Ú º À Ö Ø ÙÔÔÓÖØ ε α Ò Ø Ñ ÐÐ Ö Ø Ò Û Ø Ø Ð Ö Ö Ø ÙÔÔÓÖغ Ì ÖÙ Ð Ô Ö Ñ Ø Ö ÓÖ

5 Ñ Ò ÔÙÖÔÓ Ø Ø ÓØ Ø Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ø Ø Ð ØÝ Ó Ø Ñ Ò Ñ Ø Ó Û Ò Ø ÙÔÔÓÖØ Ñ ÐÐ ØØ Ö Ö ÓÐÙØ ÓÒ ÜÔ Ø ÙØ Û Ø ÔÓÓÖ Ö Ø Ð ØÝ Ø Ø Ø Ø Ð Ò Ø Ð Ø Ö Ú Ö ÓÚ Ö Ñ ÐÐ Ö ÓÑ Òº Ì Ò Ò ÓÒ ÕÙ Ò Ó Ø Ð Û Ó Ð Ö ÒÙÑ Ö º ÆÓØ Ø Ø Ø ÓÚ ÕÙ Ò Ó Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ ÙÒ ÓÖÑÐÝ ÓÙÒ Ò L R d ) Ò Ø Ø Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ï Ò Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Wε x, q) = x q q ) ε dw ε α, ε α, ½º µ Û Ö W x, k) Ø Ï Ò Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ø Ö Ð Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ u ε= Ò Ö Ð¹Ú ÐÙ º Ï Ö ØÖ Ø α ØÓ Ð Ø Ò ØÓ Ò ÙÖ Ø Ø ε Ø Ø Ö ÕÙ ÒÝ Ò Ø ÔÖÓ Ð Ñº Ï ÙÔÔÓ ÓÖ ÑÔÐ ØÝ Ø Ø q = º ÌÓ ÓÒ Ö Ø Ó Ú Ò Ò q ÓÒ Ò ØÓ Ö Ð q ØÓ Ð Ø Ø Ô Ò ÓÒ ε ØÓ Ð ØÓ ÔØÙÖ Ø ÓÖÖ Ø Ú ÓÖ Ó Ø ÓÖÖ ØÓÖº Ì Ð Ñ Ø Ò Ú ÓÖ Ø Ò Ó Ø Ò Ú Ñ Ð Ö Ò ÐÝ ØÓ Ø Ø ÐÓÛº Ï Ó ÒÓØ ÓÐÐÓÛ Ø Ø ÖÓÙØ Ö Ò Ò Ø ÑÓ Ø Ö Ð Ú ÒØ Ö Ð Ø ØÓ q = Ø Ø Û Ò Ø Ï Ò Ö ØÖ Ò ÓÖÑ ÑÓÓØ Ò Ø ÑÓÑ ÒØÙÑ Ú Ö Ð Ó Ø Ø α = Ø Ð Ñ Ø ÑÔÐÝ Ó Ø Ò Ý ÔÖ Ö Ò q = Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÜÔÖ ÓÒ Ò Ø Ø ÓÖ Ñ ÐÓÛº Ì α < Ò α > ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ö ÒØ Ú ÓÖ Ò Ø Ô Ô Ò Ò Ò ½º µ Û Ò α > Ø Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ ÑÓÖ Ò ÙÐ Ö Ò Ø Ô Ø Ð Ú Ö Ð Ø Ò Ò Ø ÑÓÑ ÒØÙÑ Ú Ö Ð Ö ÙÐØ Ø ÓÛÒ Ò Ò Ø ÁØ¹Ë Ö Ò Ö Ö Ñ Ø Ø Ø Ò Ø Ð Ø Ö ÑÓ ØÐÝ Ö Ø Ý Ò Ò Ø Ð Ð Ý Ö ÖÓÙÒ t = Û Ð Ò Ø α < Ø Ý Ö Ö Ø Ø Ð Ø Ö Ø Ñ Ò Ø ÔÖÓÔ Ø ÓÒº ËÓÑ ÒÓØ Ø ÓÒº Ï ÒÓØ Ý Ff Ø ÓÙÖ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ó fx, q) Û Ø Ö Ô Ø ØÓ ÓØ Ú Ö Ð x Ò qº ÓÖ ÙÒØ ÓÒ fz,, z n ) C m R nd ) z j R d j =,, n Ò ÑÙÐØ ¹ Ò Ü i = i,, i nd ) N nd Û Ø i = i + +i nd m Û ÒØÖÓ Ù i z,,z n f := i z ind z n d f. Ä Ø x := + x ) / ÓÖ x R d x Ò Ø ÙÐ Ò ÒÓÖÑ Ó Ø Ú ØÓÖ x Ò Ð Ø a b Ö Ôº a bµ Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ö Ôº Ñ Ü ÑÙѵ Ó a Ò bº ÐÐ ÐÓÒ Ø Ô Ô Ö C ÒÓØ ÙÒ Ú Ö Ð ÓÒ Ø ÒØ Ø Ø Ñ Ø Ö ÖÓÑ Ð Ò ØÓ Ð Ò º ¾º Ê ÙÐØ Ì Ø ÓÒ ÙÑÑ Ö Þ ÓÙÖ Ñ Ò Ö ÙÐØ ÓÒ Ø ÒØ ÐÐ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒº ÓÖ Ö Ð Ø Ø ÙÒØ ÓÒ ϕ SR d ) Û Ò w ε τ) = dxdydpdqϕx, p)ϕy, q)j DS τ, x, p, y, q). R 4d ¾º½µ

6 º Ä Æ Çº ÈÁÆ Í Ë ÑÔÐ ÙØ Ð Ò Ø Ý ÐÙÐ Ø ÓÒ ÓÛ Ø Ø w ε Ñ Ø Ø ÜÔÖ ÓÒ w ε τ) = ε π) 4d Û Ö Û Ú Ò F ε τ, ξ, η) = τ σ σ σ,σ =± dxdp exp R d R 4d dξ dη dξ dη E{ˆV η )ˆV ξ )ˆV η )ˆV ξ )} F ε τ, ξ + η, η )F ε τ, ξ + η, η ) dxdydpdqϕx, p)ϕy, q)eds)τ, x, p)eds)τ, y, q), ¾º¾µ R 4d { ψ ε x, p,[z]) = σ =± t i } ε αx ξ exp { dtds exp ε[ i ]} σ sξ η) η + q tξ sη) { i ε αp tξ sη) } W x, p)ψ ε x, p,[z]), σ ϕ ε α x + τ t)σ ξ η) + τq + ε α p) + σ τ t + s)η, q + ε α p + σ ξ η) + ) σ η. ÓÚ Ò Ð Ó Ò Ø Õ٠е Û Ù Ø ÓÖØ Ò ÒÓØ Ø ÓÒ [z] = τ, t, s, ξ, η, σ ) ØÓ ÒÓØ Ø Ú Ö Ð Ø Ö ÔÓ Ð Ö Ð Ò µ Ö Ð Ø ØÓ Ø ÙÒØ ÓÒ ψº Ë Ò Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ù Ò Û Ú Ø ÔÖÓÔ ÖØÝ π) d EˆV η )ˆV ξ )ˆV η )ˆV ξ )) = ˆRη )δη + ξ ) ˆRη )δη + ξ ) + ˆRη )δη + η ) ˆRξ )δξ + ξ ) + ˆRη )δη + ξ ) ˆRξ )δξ + η ), Û Ö δ ÒÓØ Ø Ö Ñ ÙÖ º Ì Ö Ø Ø ÖÑ ÓÒ Ø Ö Ø Ó Ø Ð ØØ Ö ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ö Ø ÒØ ÐÐ Ø ÓÒ Ø Ø ÕÙ Ð ØÓ Ø ÓÒ Ø ÖÑ ÓÒ Ø Ö Ø Ó ¾º¾µ Ó Ø Ø ÓÒÐÝ ØÛÓ Ø ÖÑ Ö Ñ Ò Ò w ε w ε τ) = wετ) + wετ), ¾º µ wετ) = ε π) d dξdη ˆRξ η) ˆRη) F ε τ, ξ, η), ¾º µ R d wετ) = ε π) d dξdη ˆRξ η) ˆRη)F ε τ, ξ, η)f ε τ, ξ, ξ + η). ¾º µ R d Û ÐÐ ÜÔÐ Ò Ø Ø Ò Ó Ø ÓÒ º¾ Ø ØÛÓ Ø ÖÑ ÓÚ Ö ØÙ ÐÐÝ ÕÙ Ð Ò Ø Ð Ñ Ø ε Ò Û Û ÐÐ Ø Ö ÓÖ ÓÒÐÝ ÓÒ Ö wε Ò ÓÙÖ Ò ÐÝ º Ï Ò d Û ÓÑÔÓ Ø Ú Ö Ð ξ Ò η ÓÖ Ò ØÓ Ø Ð Ò Ò Ý Ø Ú ØÓÖ q Ö ÐÐ Ø Ø q = µ η = η, η ) R d ; ξ = ξ, ξ ) R d, ¾º µ Û Ö ξ, η ) R ξ, η ) R d ) ξ = ξ q η = η q ξ q = η q = Û Ø ξ Ò η ÒÓØ Ò Ø Ú ØÓÖ, ξ ) Ò, η )º Ï Ò d = Ù ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÒÓØ Ò ÖÝ ξ Ò η Ö ÐÛ Ý Ð Ò Û Ø q º Ä Ø B Ø ÙÒ Ø ÐÐ Ó R d º Ï Ò η Û Ò η±η ) = ± η Ò η ± = η±, η )º Ì Ø ÓÖ Ñ ÐÓÛ Ö Ø Ö Þ Ø Ð Ñ Ø Ó wε Ò Ø Ö ÓÖ

7 Ø Ø Ó wε µ Ò Ø Ð Ñ Ø ε ÓÖ Ò ØÓ Ø Ô Ý ÐÐÝ Ö Ð Ú ÒØ Ô Ö Ñ Ø Ö α Ò δº Ï Ò d Û Ó ÒÓØ Ö Ø α = Ò Ø Ð Ø Ó Ð Ö ÒØ Ö Ø Ò Ø ÓÙ Ð ØØ Ö Ò ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ö ÓÖ Ö Ò ε Ø Ò Ø Ò Ð ØØ Ö Ò ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ò Ø Ö ÓÖ ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ Ò Ð Ð º Ï Ò d = Ò Ð Ò ÓÙ Ð ØØ Ö Ò ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ú Ø Ñ ÓÖ Ö Û Ò α = Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÖ Ø Ò Ø ÓÖ Ñ ¾º¾º ÐÐ ÓÒÚ Ö Ò ÐÓÛ Ö ÔÓ ÒØÛ Ò Ø Ñ Ò Ò ÓÛÒ ØÓ ÙÒ ÓÖÑ ÔÖÓÚ Ò Ò Ø Ð Ð Ý Ö ÚÓ º ÅÓÖ ÔÖ ÐÝ Û Ú Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ö ÙÐØ Û Ò d Ì ÓÖ Ñ ¾º½º Ï Ú ÔÓ ÒØÛ Ò τ δ, d) α [, ] w ετ) ε, Ò Û Ò α = Ø Ö Ü Ø ÔÓ Ø Ú ÒÓÒ¹ ÒØ ÐÐÝ Ú Ò Ò ÙÒØ ÓÒ f Ù Ø Ø ÔÓ ÒØÛ Ò τ fτ) lim inf ε δ d wετ). ¾º µ ε Û Ò δ = Ò d 3 ε d α) α ) α ) w ετ) wτ). Ì Ð Ñ Ø Ô Ò ÓÒ Ú Ö Ð Ô Ö Ñ Ø Ö º Ï Ò < α < Û Ú τα wτ) = C d dtdsdξ dη ˆR η ± ) ± R d B η ) C d = π), ψ d ) α = σ ϕ σ =± ¾º µ ψ α FW ) ξ,tξ α sη ±), τq + σ )τ t α )η ±,q + σ )η ± ), Û Ø τ α = τ Û Ò α τ α = Û Ò α > ξ α = Û Ò α < ξ α = ξ Û Ò α t α = t Û Ò α Ò t α = Û Ò α > º Ï Ò α = Ø Ò Û Ò Ø Ø τ ˆR η ± ) τ wτ) = C d dξdη ds ± R d B η ) / dte itξ FW ψ) ξ,sη ±), s ψ = σ ϕ x + τ t)σ ξ η ± ) + τq τ t + s)η±,q + σ ξ η ± ) η±). σ =± Ï Ò d = δ = Ò α [, ] ¾º µ Ø ÐÐ ÓÐ Û Ð Û Ò α,) ε α) α ) α ) log τε α wετ) wτ), wτ) = dξ dη ds ˆR η ± ) ± R B 4π η ) ψ αfw / ),ξ sη ±), ÓÖ Ø ψ α ÔÖ Ú ÓÙ ÐÝ Ò º ÁÒ Ø ÓÒ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Û Ú Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ö ÙÐØ Ì ÓÖ Ñ ¾º¾º δ, d) α, ] ÔÓ ÒØÛ Ò τ w ετ) ε.

8 º Ä Æ Çº ÈÁÆ Í Ï Ò δ = Û Ú lim ε α w ε τ) = w α τ), Û Ö ε w α τ) = ˆR q ) τ τ dtds FW ψ α ), s), α, ), w τ) = ˆR q ) τ dsdξ 4π dt exp { itξ} FW ψ α )ξ, s), α =, R s τ dηds w τ) = 4 π η ˆR η) σ ds exp {isψ σ η)} FW ψ), sη), α =, Ò R ψ α x, p) = σ =± σ =± σ ϕ x α τ t) + σ )q + τq + τ s α )q, q + σ )q ), x α = x α =, x α = ÓØ ÖÛ, s α = s α =, s α = ÓØ ÖÛ, ψx, p) = σ ϕ τ t)σ σ )η + τp + q ), p + q + ) σ σ )η. σ =± ÐÐ Ø ÜÔÖ ÓÒ Ø Ø ÔÔ Ö Ò Ø ÓÚ ØÛÓ Ø ÓÖ Ñ Ò ÓÛÒ ØÓ Ò Ø Ò W Ò ϕ ÐÓÒ ØÓ SR d ) Ð Ó Ø ÓÒ º Ï Ú ÓÑÔÐ Ø ÔÖÓÓ Ó Ø ÓÖ Ñ ¾º½ Ò Ø ÓÒ Ò Ò Ø α [, ]º Ì α, ] ØÖ Ø ÓÖÑ ÐÐÝ Ò Ø ÓÒ º Ì ÔÖÓÓ Ò Ñ Ö ÓÖÓÙ Ý ÔØ Ò Ø Ö ÙÑ ÒØ Ó Ø α [, ] Û ÒÓØ ÓÐÐÓÛ Ø Ø ÖÓÙØ Ö ÓÖ Ø Ó ÓÒ Ò º Ï Ò d Ø ÓÖ Ñ ¾º½ ÓÛ Ø Ø Ø ÒØ ÐÐ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ó Ø ÓÙ Ð ØØ Ö Ò ÓÒÚ Ö ØÓ Þ ÖÓ Ú Ò ÓÖ ÐÓÒ ¹Ö Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ º Ñ Ð Ö Ö ÙÐØ Û Ó Ø Ò Ò ÓÖ Ø Ò Ð ØØ Ö Ò ÓÒØÖ ÙØ ÓÒº Ì Ñ Ò Ø Ø Ø ØÖÙÒ Ø Ï Ò Ö ÙÒØ ÓÒ ÒÐÙ Ò ÓÒÐÝ Ø ÐÐ Ø Ô ÖØ Ò Ø Ò Ð Ò ÓÙ Ð ØØ Ö¹ Ò Ô ÖØ µ Ø Ø Ø ÐÐÝ Ø Ð Ò Ø Ð Ñ Ø ε Ò Ñ Û Ø Ô Ø Ð ÐÓÒ ¹Ö Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ º Ì Ö Ò Ú ÖØ Ð ØÖ Ò Ö Ò Û Ø Ø Ò Ð ØØ Ö Ò ÓÒØÖ ÙØ ÓÒº Ì Ð ØØ Ö Û ÓÛÒ Ò ØÓ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ðݵ Ó ÓÖ Ö ε Û Ò δ d Ò ÒÓØ Ó ÐÓÛ Ö ÓÖ Öº À Ö Ø Ø Ñ Ø ÖÓÑ ÐÓÛ ¾º µ ÓÛ Ø Ø Ø Ð Ñ Ø Ò ÒØ ÐÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÒ ØØ Ö Ò Ö Ø Ö Ø Ò Ø ÖÑ Ó ÓÖ Ö ε d δ Û Ò α = Û Ø Ö ÓÖ ÐÓ ØÓ ÓÒ δ dº Ì Ñ Ò Ø Ø ÐÓÒ ¹Ö Ò Ø Ö ØÖÓÒ Ö ÓÒ ÓÙ Ð ØØ Ö Ò Ò Ð ÐÝ ÓÒ ÒÝ Ö ÓÖ Ö ØØ Ö¹ Ò Ú ÒØ µ Ø Ò ÓÒ Ò Ð ØØ Ö Ò º Ì Ö Û Ø Ø Ô Ý Ð ÒØÙ Ø ÓÒ Ò ÐÓÒ ¹Ö Ò Ø Ö ÙÔÔÓ ØÓ Ò Ø Ð Ö Ø Ò Ò ÓÙ Ð ØØ Ö Ò Ú ÒØ Ø ÔÐ Ø Ð Ö Ö Ø Ò ÖÓÑ Ø ÓÙÖ Ø Ò Ò Ð ØØ Ö Ò Ú ÒØ Óº Ï Ø Ö ÓÖ ÒÓØ Ö ÓÖ Ö ØØ Ö Ò Ö Ø Ø Ø ÐÐÝ Ø Ð Ò Ñ Û Ø ÐÓÒ ¹Ö Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ö Ñ Ò Ò ÓÔ Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Ø Ö Ò ÓÑ Ë Ö Ò Ö ÕÙ ¹ Ø ÓÒ Û Ø Ø Ñ ¹ Ò Ô Ò ÒØ ÔÓØ ÒØ Ð º ØØ Ò Ù Ö ÙÐØ Ñ Ý Ö ÕÙ Ö Ò Ò ÐÝ Ó Ø Û ÓÐ Ö ½º µ Û ÐÖ Ý Ú ÖÝ ÙÐØ ÓÖ ÓÖØ¹Ö Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ½½ º Ï ØÖ Ø Ò Ø Ø ÓÖ Ñ Ø Ø Ø Ñ ØÓ ÑÓ Ø Ö Ð Ú Òغ Ç Ø Ò Ò ÐÐ Ø Ð Ñ Ø Ò ÜÔÖ ÓÒ Ó wε Û Ò δ > ÖÐÝ ÐÓÒ Ø º ÁÒ

9 ÜÔÐ Ò Ò Ø ÓÒ º¾ Ø Ö Ö ÒØ Ð Ú ØÓ Ò Ò ÓÖ Ö ØÓ Ò Ð Ø Ò ÙÐ Ö ØÝ Ó ˆR ÖÓÙÒ Ø ÓÖ Òº Ì Ð ØÓ Ø Ö Ö ÒØ ÜÔÖ ÓÒ Ò Ø Ð Ñ Ø ε º Ì Ð Ò Ø ÖÑ Ø Ù Ô Ò ÓÒ Ø Ú ÐÙ Ó δº Ï ÓÑÔÙØ Ø Ü Ø Ð Ñ Ø ÓÖ Ø Ñ ÐÐ Ø Ó Ø Ø Ö Ð Ò Ø ÓÒ º Ò Ø ÐÐÓÛ Ù ØÓ Ó Ø Ò Ø ÓÙÒ ÖÓÑ ÐÓÛ ¾º µº Ï ÔÖ ÒØ Ø Ö ÙÐØ ÓÒÐÝ ÓÖ α = Ø Ø ÑÓ Ø ÒØ Ö Ø Ò º ÁÒ Ø ÓÛ Ø ÒØ ÐÐ Ø ÓÒ ÒÖ Ò δ d Ö ÙÐØ Ø Ø ÒÓ ÐÓÒ Ö ÓÐ Û Ò α º Ì ÓÖ Ñ ¾º½ Ð Ó ÓÛ Ø Ø Û Ò d 3 Ò δ = ÒØ ÐÐ Ø ÓÒ Ó ÓÙ Ð ØØ Ö Ò Ó ÓÖ Ö ε d α)+α )+α ) º ÁØ Ö Ñ Ò ÑÙÑ Ó ÓÖ Ö ε d Û Ò α = Ò Ñ Ü ÑÙÑ Ó ÓÖ Ö ε 3 Û Ò α = Ò d = 3 ÓÖ Ò Ø Ò º Ì ÒØ ÐÐ Ø ÓÒ Ó Ò Ð ØØ Ö Ò Û ÓÛÒ ØÓ Ó ÓÖ Ö ε d α)+ α α) º ÁØ Ø Ò ÒØ Ö Ø Ò ØÓ ÒÓØ Ø Ø Ò Ð ØØ Ö Ò ÓÑ Ò Ø Û Ò α > 3 Û ÔÖ ÐÝ Ø Ñ Ø Ö ÓÐ Ó ÖÚ ÓÖ Ø ÁØ¹Ë Ö Ò Ö Ö Ñ Ò º Ì d = Ú ÖÝ Ñ Ð Ö Ü ÔØ Ø Ø Ø Ö Ò Ø ÓÒ Ð ÐÓ Ö Ø Ñ ÓÖÖ Ø ÓÒ Û Ò α, )º Ð Ó Ø ÓÔØ Ñ Ð Ø Ñ Ø Ó ÓÙÖ Ø ÓÖ Ñ ØÓ Ø Ö Û Ø Ø Ó Ó ÐÐÓÛ Ù ØÓ ÕÙ ÒØ Ý Ø Ð ¹µ Ú Ö Ò Ø Ó Ø Ø Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ò Ø Ñ Ó Ø Ö Ò ÓÑ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ø ÁØ¹Ë Ö Ò Ö º ÓÖ Ø Ø Ñ Ò Ô Ò ÒØ ÔÓØ ÒØ Ð ÓÒ Ö Ö Ø Ø ÓÖ Ö Ó Ò Ð ØØ Ö Ò ε d+ Ó Ø Ò ÓÖ α = µ Û Ð Ø ε d+ ÓÖ Ø ÁØ¹Ë Ö Ò Ö º ÓÖ ÓÙ Ð ØØ Ö Ò Û Ú ε d Û Ò α = Û Ð Ø ÓÖ Ö ε d ÓÖ ÁØ¹Ë Ö Ò Öº Ï Ò α = Ø Ø Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ò Ø ÁØ¹Ë Ö Ò Ö Ö Ñ Ø Ò Ñ Ø ÒØ ÐÐ Ø ÓÒ Ò ÓÖ Ö Ò ε Ñ ÐÐ Ö Ø Ò Ø Ø Ñ Ò Ô Ò ÒØ º ÁØ ÒØ Ö Ø Ò ØÓ ÓÑÔ Ö Û Ø Ø Ó Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ø Ø Ó ÒÓØ ÐÓ Ð Þ Ò Ø ÑÓÑ ÒØÙÑ Ú Ö Ð º º Û Ò α = º Ï Ò ÓÖ ÓØ Ø Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ø ÁØ¹Ë Ö Ò Ö Ø Ø Ò Ð ØØ Ö Ò Ó ÓÖ Ö ε Û Ð ÓÙ Ð ØØ Ö Ò Ó ÓÖ Ö ε º Ì Ñ Ò Ø Ø Ø Ø Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ò Ø Ñ Ú ÒÓ ÐÓÒ Ö Ð ¹ Ú Ö Ò Ø Û Ò α = Ò Ø Ö ÓÖ Ø Ø Ô Ø Ð Ð ¹ Ú Ö Ò ÓÑ ÓÑ Ò ÒØ Ø Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ø ÙÒÐÓ Ð Þ Ò ÑÓÑ ÒØÙѺ ÔÔÐ Ø ÓÒ ØÓ ÔÖ ÙÖ ÓÖ º Ï Ò δ = Ø ÓÔØ Ñ Ð Ø Ñ Ø Ó Ø Ò Ò Ø ¹ ÓÖ Ñ ¾º½ ÔÖÓÚ Ø ÝÒ Ñ Ó Ø Ø Ø Ø Ð Ò Ø Ð Ø º Ì Ø Ø ÙÒØ ÓÒ ϕ ÔÔ Ö ϕ τq + σ )τ t α )η ±, q + σ )η ±), Û Ø t α = t Û Ò α Ò t α = α > º Ï Ò α > Ø Ñ Ò Ø Ø Ø Ò Ø Ð Ø Ó ÓÙ Ð ØØ Ö Ò ÔÖÓÔ Ø Ö ÐÝ Ò Ø Ö Ò ÓÑ Ñ ÙÑ Û Ø ÑÓÑ ÒØÙÑ q + + σ )η ± º Ì Ò Ø Ð Ø Ö Ø Ö ÓÖ Ö Ø Ý Ò Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ Û ÐÖ Ý Ó ÖÚ Ò ÓÖ Ø ÁØ¹Ë Ö Ò Ö Ö Ñ º Ï Ò α Ø Ý Ö Ò Ö Ø Ý ÓÙÖ Ø ÖÑ Ø ÔÓ Ø ÓÒ ÒÓÛ Ø ÖÑ Ò Ý τq + σ )τ t)η ± º ÁØ ÒØ Ö Ø Ò ØÓ ÒÓØ Ø Ø Ò Ø Ð Ø ÔÖÓÔ Ø ÒÓØ ÓÒÐÝ Û Ø Ø Ò Ø Ð ÑÓÑ ÒØÙÑ q ÙØ Ð Ó Û Ø ÑÓÑ ÒØÙÑ q + η ± Û Ó ØÖ ÙØ ÓÒ Ñ Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÖÐÝ ÓÑÔÐ Ü ÜÔÖ ÓÒ Û Ò α ˆR η ± ) ση ) = dsdξ η ) FW ) ξ, sη ±). R d

10 ½¼ º Ä Æ Çº ÈÁÆ Í Ì ÒØ Ö Ø Ø ÖÑ ÓÒ Ø Ö Ø Ò ÓÛÒ ØÓ ÙÒ ÓÖÑÐÝ ÓÙÒ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ η Ó Ø Ø Ø Ñ Ò Ö Ø Ö Ø Ó Ø ØÖ ÙØ ÓÒ Ö Ø Ø Ó ˆR η ± ). η ) Ì Ò ÓÒØÖ Ø Û Ø Ø ÝÒ Ñ Ó Ø Ð Ñ Ø Ò Ï Ò Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Û ÒÓÛÒ ØÓ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó ØÖ Ò ÔÓÖØ ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø ÓÒ ÖÚ Ø Ú ÓÐÐ ÓÒ ÓÔ Ö ØÓÖ ½º µ Ò ½½ º Ì Ñ Ò Ø Ø Ø Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ø ØÖ Ò ÔÓÖØ ÕÙ Ø ÓÒ Ò ÖÖÓÛÐÝ ÙÔÔÓÖØ Ò Ö ÕÙ ÒÝ ÑÓÑ ÒØÙѵ Ø Ñ ÓÐ ÓÖ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ø ÐÐ Ø Ñ º ËØ Ø Ø Ð Ò Ø Ð Ø Ø Ù ÔÖÓÔ Ø Û Ø Ð Ö Ö Ö Ò Ó Ö ÕÙ Ò Ø Ò Ø Ú Ö Ï Ò Ö ÙÒØ ÓÒ Ò Ø ÔÖÓÔ ÖØÝ Ò Ù ÓÖ Ñ Ò ÔÙÖÔÓ ÜÔÐ Ò ÐÓÛº Ë ½ ÓÖ Ò ÜÔÓ Ø ÓÒ Ó ÔÖ ÙÖ ÓÖ Ò ÓÒ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ØØ Ò º Ê ÐÐ Ø Ø q = º Ï Ú η ± = ± η ) / Ó Ø Ø Ò η Û Ú η ± [, ]º Ì Ö ÓÖ Ò Ø Ð Ø ÔÖÓÔ Ø Û Ø ÓØ ÐÓÛ Ö Ò Ö Ö ÕÙ Ò Ø Ò q º Ì ØÖ ÙØ ÓÒ Û ÐÐ Ñ Ü ÑÙÑ ÓÖ ÑÓÑ ÒØ k m Û Ø k m = º Ì ÓÚ ÖÓ ¹ Ø ÓÒ Ø Ö ÓÖ Ñ ÒÐÝ Ò Ö Ø ÑÓÑ ÒØ Û Ø ÒÓÖÑ q º Ì ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ö ÕÙ ÒÝ Û Ú Ø Ø Ö ÒÓØ Ù Ø ÓÖ ÔÖ ÙÖ ÓÖ º Æ Ú ÖØ Ð Ø ÖÓ ¹ Ø ÓÒ Ð Ó Ö Ø ÐÓÛ Ö ÕÙ Ò k l ÔÖÓÚ ˆR Ó ÒÓØ Ú Ò ÖÓÙÒ Ø ÓÖ Òµ Û Ó ÑÔÐ ØÙ Ý Ð r k l = rº Á Ø Ö Ð Ø ÐÓÛ¹ Ö ÕÙ ÒÝ Û Ú Ò Ñ ÙÖ Û ÓÙÐ ÙÐØ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ø Ò µ Ø ÑÔÐ ØÙ Ö Ø Ö ÕÙ ÒÝ Ó Ò µ Ø ÑÔÐ ØÙ Ó ÓÖ Ö ε d α)+α ) Û Ò δ = Ò α µ Ò Ø Ö ÓÖ Ñ ÐÐ Ø Ý Ò Ó ÒØ Ö Ø ÓÖ Ñ Ò ÔÙÖÔÓ Ø Ý Û ÐÝ ÒØ Ö Ø Û Ø Ø Ö Ò ÓÑ ÙØÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ñ ÙÑ Ò Ø Ù ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÐÝ ÔÖÓÔ Ø Ò ÓÑÓ Ò ÓÙ Ñ ÙѺ ÁØ ÒØ Ö Ø Ò ØÓ Ô Ö ÓÖÑ ÓÑÔ Ö ÓÒ Û Ø Ø Ò Ð ØØ Ö Ò ÓÒØÖ ÙØ ÓÒº ÓÖ Ò ØÓ Ø Ö ÙÐØ Ó Û Ò α < Ø Ò Ø Ð Ø ÓÒÐÝ ÔÖÓÔ Ø Ò Ø Ö Ø ÓÒ q Ó Ø Ø ÒÓ ÐÓÛ Ö ÕÙ Ò Ö Ö Ø ÙÖ Ò Ø ÔÖÓÔ Ø ÓÒ Ò ÒÓ ÔÖ ÙÖ ÓÖ Ö Ò Ö Ø º ÓÑÑ ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ Ñ Ò ÓÒ Ð º Ö Ø Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÖ Ñ ¾º¾ Ø Ø ÓÖ Ò Ð ØØ Ö Ò ÓÙ Ð ØØ Ö Ò Ø Ð Û Ò α > Ò Ø ÔÖ Ò Ó ÐÓÒ ¹Ö Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ º Ì Ö ÒÓ ÓÒØÖ Ø ÓÒ Û Ø Ø Û Ðй ÒÓÛÒ ÐÓ Ð Þ Ø ÓÒ ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó Û Ú ÔÖÓÔ Ø Ò Ò ÓÒ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ö Ò ÓÑ Ñ ÓÖ Ò Ø Ò ½ º ÇÙÖ Ö ÙÐØ ÓÛ Ø Ø ØØ Ö Ò Ú ÒØ Ó ÓÖ Ö Ø Ð Ø Ø Ö Ö Ö ÔÓÒ Ð ÓÖ ÐÓ Ð Þ Ø ÓÒ Û Ò α > º Ì α > ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ ÐÓ Ð Þ Ò Ø Ô Ø Ð Ú Ö Ð Û Ð α = ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ ÙÒÐÓ Ð Þ Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ º Ï Ò α = Û Ò Ø Ø Ø ÒØ ÐÐ Ø ÓÒ Ó ÓÖ Ö ÓÒ Ò Ø Ö ÓÖ ÓÑÔ Ø Ð Û Ø ÐÓ Ð Þ Ø ÓÒº Ì Ö ÙÐØ Ñ ØÓ Ò Ø Ø Ø Û Ú Ò ØÓ ÔÖ Ô Ø ÐÐÝ Ö Ø Ò ÓÖ Ö ØÓ ÐÓ Ð Þ Û Ò α = Û Ú Ú Û Ô Ø Ð ÙÔÔÓÖØ Ò Ø Ø Ø Ð Ò Ø Ð ØÝ ÓÙÖ ÓÖ Ø ÓÙ Ð ØØ Ö Ò Û Ò α > Û Ú Ò ØÓ Ô Ö Ö Ø Ò Ø Ò ÓÙ Ð ØØ Ö Ò Ø Ð º Ð Ó ÓÙ Ð ØØ Ö Ò ÓÑ Ò ÒØ Û Ò Ú Ö α < Ò Ó Ñ ÓÖ Ö Ò Ð ØØ Ö Ò Û Ò α = º

11 ½½ º ÇÙØÐ Ò Ó Ø ÔÖÓÓ º½º ÈÖ Ð Ñ Ò ÖÝ ÐÙÐ Ø ÓÒ º Ï Ò ØÓ Ô Ö ÓÖÑ Ø ÓÒ Ð ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ¹ ÓÖ Ö Ò Ø ÓÙØÐ Ò Û Ò α [, ] Û Ñ Ò ¾º µ Ø Ò Ó Ú Ö Ð s ε α s Ò ξ ε α ξ, ξ ε α ξ, Û Ö Û Ù Ø ÒÓØ Ø ÓÒ ¾º µº Ï Ò d = Ý ÓÒÚ ÒØ ÓÒ ξ η º Ä Ø ξ ε = ε α ξ, ξ )º ËØ ÐÐ Ù Ò Ø ÒÓØ Ø ÓÒ F ε ÓÖ Ø Ö Ð Ú Ö ÓÒ Ó F ε Û ÐÐ dξ = dξ dξ Ò dη = dη dη Ò Ò Ò ˆR ε ξ, η) = ˆRε α ξ η), Ψ σ η) = η + σ ) η + η º½µ a ε u, v, [z ε ]) = FW, )ψ ε,, [z ε ]))u, v), º¾µ F ε τ, ξ ε, η) = σ Fσ ε τ, ξ ε, η), º µ σ =± Û Ø [z ε ] = τ, t, ε α s, ε α ξ ε, η, σ ), Ò F ε σ τ, ξ ε, η) = τ ε α t dtds exp { iσ sξ ε η/} exp { itξ } exp { i ε αsψ σ η) a ε ξ ε, ε α tξ ε sη,[z ε ] ), º µ Û Ò Ø ÜÔÖ ÓÒ ÓÖ Ø Ö Ø ÒØ ÐÐ Ø ÓÒ wε wετ) = ε d α)+3α dξdη π) ˆR d ε ξ ε, η) ˆRη) F ε τ, ξ ε, η). R d } º µ Ï Ò α, ] Û Ñ Ò Ø ÓÒ Ø Ò Ó Ú Ö Ð t εα t Ò ξ ε α ξ º Ì Ý Ð wετ) = ε d α)+5α 3 dξdη π) ˆR d ε ξ ε, η) ˆRη) F ε τ, ξ ε, η), º µ Û Ø ÒÓÛ ξ ε = ε α ξ, ξ ) Ò F ε σ τ, ξ ε, η) = τε α ε α t R d dtds exp { iσ sξ ε η/} exp { itξ } exp [z ε ] = τ, ε α t, ε α s, ε α ξ ε, η, σ ). Ì ÓÒ ÒØ ÐÐ Ø ÓÒ ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ w ε Ù ÐÓÛº { } i ε αsψ σ η) a ε ξ ε, tξ ε sη,[z ε ]), º µ º¾º ÇÙØÐ Ò º ÙÑ d º Ì d = ÑÔÐ Ö Ò ØÖ Ø Ò Ø ÓÒ º Ä Ø Ù Ø ÖØ Û Ø ÓÖÑ Ð Ò ÐÝ ÓÖ w ε ÙÑ α, ) Ò ÓÑÔÓ F ε F ε = σ σ F σ ε F ε σ. σ,σ =±

12 ½¾ º Ä Æ Çº ÈÁÆ Í Û Ð ÓÖ w ε ÓÖ Ø Ò Ó Ú Ö Ð ξ ε α ξ µ ØÓ Ó ÐÐ ØÓÖÝ ÒØ Ö Ð Ó Ø ÓÖÑ τ τ I = dt dt dξ dη ˆR ε ξ, η) ˆRη) R d { exp i } ε αt t )ξ Ft, ξ, η, σ )Ft, ξ, η, σ ), º µ Û Ø Ft, ξ, η, σ ) = ε α t ds exp { iσ sξ η/} exp { } i ) ε αsψσ η) a ε ξ, ε α tξ sη. Ï ÖÓÔ Ø Ô Ò Ò Ó a ε ÓÒ [z ε ] ØÓ ÑÔРݺ Ì ÔÖÓ ÙØ FF Ò ÛÖ ØØ Ò ε α t ε α t ds ds exp { iσ s s σ )ξ η/ } { } i exp ε αs Ψ σ s Ψ σ ) a ε ξ, ε α t ξ s η ) ā ε ξ, ε α t ξ s η ). Ì Ö Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ø ÖÑ Ò Ø ÒØ Ö Ð ÓÚ ÔÐ Ý ÒÓ ÖÓÐ º Ï Ò α < Ø ÓÒ Ó ÐÐ ØÓÖÝ Ô ÐÓ Ð Þ η ÓÒ Ø ÝÔ Öµ ÙÖ ÓÒ Û Ø Ô ØÓÖ s Ψ σ s Ψ σ Ú Ò º Ì Ô ÕÙ Ð ØÓ s Ψ σ s Ψ σ = s s )η + s σ s σ ) η + η. ÙÑ Ö Ø σ = σ º Ì Ò Ø Ô Ö s Ψ σ s Ψ σ = s s ) η + σ )) η + η, Û Ú Ò ÓÒ Ø ÙÖ S σ Ú Ò Ý S σ = {η, η ) R R d, η + σ η + σ η = }, = {η, η ) R R d, η, η = σ ± } η. Ë ØØ Ò s = s + ε α s Ø Ò Ý Ð ÓÖÑ ÐÐÝ Ft, ξ, η, σ )Ft ξ, η, σ ) ε α δ Sσ η) ε α t ds a ε ξ, ε α t ξ s η ) ā ε ξ, ε α t ξ s η ), Û Ö δ Sσ ÒÓØ Ö Ø Ö Ñ ÙÖ ÓÒ Ø ÙÖ S σ º Ï Ò σ = σ Û Ú s + ε α s )Ψ σ s Ψ σ = ε α s + ε α s ) s η + σ η + η, ) σ s η + η, Û Ø Ö ÓÖ Ó ÒÓØ Ú Ò Ü ÔØ Ø Ø ÓÖ Òº À Ò Ø ÜÔ Ø Ø Ø Ø ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø Ø ÖÑ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ σ = σ Û ÐÐ Ò Ð Ð ÓÑÔ Ö ØÓ Ø Ø Ó σ = σ Ò Ø Ó ÐÐ Ø Ð exp{σ ε α s η + η )}º Ï Ò α =

13 Ø ØÙ Ø ÓÒ Ö ÒØ Ò Ø ÒØ Ö Ð Ò s ÒÓ ÐÓÒ Ö ÔÐ Ý Ø Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ò ÐÐ Ø ÖÑ Ö Ó Ø Ñ ÓÖ Ö Û Ø Ö σ = σ ÓÖ ÒÓغ Ä Ø Ù ÒÓÛ Ó ØÓ º µ Ò ØÙ Ý ÒØ Ö Ø ÓÒ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø Ø Ñ Ú Ö Ð º Ï Ò α > Ø Ó ÐÐ ØÓÖÝ ÒØ Ö Ð ÐÓ Ð Þ ØÓ t t Ó Ø Ø Ø Ö Ø Ò Ó Ú Ö Ð t = t + ε α t Û Ò ÓÖÑ ÐÐÝ τ I ε dξ dη ˆR ε ξ, η) ˆRη)δ Sσ η)δ ξ ) dt ds a ε ξ, ε α t ξ s η ), R d τ ε dξ dη ˆR η)δ Sσ η) dt ds aε ξ, ε α t ξ s η ), R d R d º µ Û Ö ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÒÓØ Ø ÓÒ ¾º µ ξ =, ξ )º ÐÓ ÐÓÓ Ø Ø ÙÖ S σ ÓÛ Ø Ø Ø Ý ÒÐÙ Ø ÓÖ Òº Ì ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ò ˆR η) Ò ÙÐ Ö Ò Ö Þ ÖÓ Û Ò δ > Ò Ú Ð η δ º Ú Ò a ε η ÖÓÙÒ Ø ÓÖ Ò Û Ò α, ) Ò Ò ÖÓÑ º¾µ Ò Ø Ò Ø ÓÒ Ó ψ ε Ø Ò ÙÐ Ö ØÝ ÒÓØ ÒØ Ö Ð Û Ò δ ÓÑ ØÓÓ Ð Ö ÙØ Ð Ø Ò d ÓÖ Ò ØÓ ÓÙÖ ÙÑÔØ ÓÒ µº ÇÒ Ø Ö ÓÖ ØÓ Ö ÙÐ ÓÖ Ú ÖÝ ÐÓÛÐÝ Ý Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò ÓÖ Ö ØÓ Ù Ø Ý Ø ÓÖÑ Ð ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ º ÔÓ Ð ØÝ ØÓ ÔÖ ÐÝ ÓÒØÖÓÐ Ø Ö Ø Ø Û η Ø ÐÓ Ö ØÓ Ø ÓÖ Ò Ø Ø ÖÑ ˆR ε ξ, η) ˆRη) Ú Ð ε α ξ η δ η δ Û Ò Ö Ø Ø Ö Ò ØÙÖ Ð Ð η ε α ξ ε Ó Ø Ø ε α ξ ε η δ η δ η δ Ò Û Û ÐÐ ÔÖ Ú ÒØ Ò Ø η ÖÓÑ ÔÔÖÓ Ò Ø ÓÖ Ò Ù Ó Ø Ò ÙÐ Ö ØÝ Û Ò η ε α ξ ε ε α ξ η δ η δ ÒØ Ö Ð Ò δ < d Ò Ò ÐÐÝ Û Ò η ε α ξ Ó Ø Ø ε α ξ η δ η δ ε α ξ δ η δ Û Ð Ó ÒØ Ö Ð º Ì Ð Ø Ð ÐÐÓÛ Ù ØÓ Ó Ø Ò ÓÙÒ ÖÓÑ ÐÓÛ Ø Ø ÓÛ Ø Ø ÒØ ÐÐ Ø ÓÒ ÖÓÛ Ò ÓÑ Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ø Ò Ø ÐÓÒ Öº Ì Ð ØØ Ö Ò ÐÝ Ð Ù ØÓ ÓÑÔÓ Ø ÓÑ Ò Ó ÒØ Ö Ø ÓÒ Ò η ÓÚ Ö R d ÓÐÐÓÛ Ð Ø B a Ø ÐÓ ÐÐ Ó R d ÒØ Ö Ø Ø ÓÖ Ò Ó Ö Ù a Ò Ca b Ø ÓÖÓÒ Ó Ö a Ò b Û Ø b > a Ð Ó ÒØ Ö Ø Ø ÓÖ Òº Ä Ø { } D± = η, η ) R R d, η, ±η, } D± = {η, η ) R R d, η, ±η, C ± ε = C εγ ε γ {±η }, D ± = D ±\ { D ± B ε γ }, C = R d \ { D + D D + D }. Ì Ð ØØ Ö ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ô Ø Ò ÙÖ ½ Û Ò d = º Ö ÑÓÙÒØ Ó ÐÙÐ Ø ÓÒ Ö ÙÒ ÒØ Ò Û Û ÐÐ ÓÙ ÓÙÖ Ò ÐÝ ÓÒÐÝ ÓÒ Ø Ù ÓÑ Ò D+ C ε + Ò B ε γ Ø Ø ÓÒØ Ò ÐÐ Ø Ö Ð Ú ÒØ ÙÐØ º Ì Ø Ò ÕÙ Ù ØÓ ØÖ Ø Ø ÓÑ Ò Ò Ø Ò ÐÝ ØÖ Ò ÔÓÖØ ØÓ Ø ÓØ Ö Ù ÓÑ Ò º Ï Ò α < ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ð ØØ Ö Ù ÓÒ Ø ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø ÓÑ Ò C Ò ÓÛÒ ØÓ ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ Ò Ð Ð Ò Ø Ó ÒÓØ ÒÐÙ Ø ÙÖ S Ò ½

14 ½ º Ä Æ Çº ÈÁÆ Í S º ÁØ Û ÐÐ Ø Ö ÓÖ ÒÓØ ØÖ Ø Ò Ø Ðº Ì ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ó D+ Ò D Û ÐÐ ÒÓØ Ù ÙÖØ Ö Ø Ö Ø Ý Ö ÑÔÐ Ö ØÓ Ò ÐÝÞ Ø Ò Ø Ó Ó D+ Ò D Ò Ø ÓÑ Ò D+ Ò D Ó ÒÓØ ÒÐÙ Ø ÓÖ Òº Ì ÓÑ Ò D D Ñ Ð Ö ØÓ D+ D+ Ò ÝÑÑ ØÖÝ Ö ÙÑ ÒØ ÓÛ Ø Ý Ý Ð Ø Ñ Ð Ñ Øº Ì Ö Ð Ø Ö ÙÐØ Û ÐÐ Ø Ù Ú Ò Û Ø ÓÙØ ÔÖÓÓ º Ï Û ÐÐ ÓÙ ÓÙÖ ØØ ÒØ ÓÒ ÓÒ Ø α º Ì Ö ÓÖÓÙ ØÖ ØÑ ÒØ ÖÐÝ Ð Ò Ø Ý Ò Ø Ò Ðº Ï Ò α Ø ÔÖÓÓ Ò Ô Ö ÓÖÑ Ò Ö Ð Ø Ú ÐÝ ÑÔÐ Ý Ø Ñ Ø Ñ ÒÒ Ö Ò Û Û ÐÐ ÔÖ ÒØ Ø Ñ Ò Ø Ð º Ï Ò α > Ø Ø Ò Ð Ø Ö Ú Ö Ù ØÓ Ø ÜØÖ Ò Ò Ø ÓÑ Ò ÒØ Ö Ø ÓÒ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ t τ ØÓ Ö ÔÐ Ý Ò º µµ Ò Ó ÒÓØ Ö Ò ÑÙ ÒÓÚ ÐØÝ ÓÑÔ Ö ØÓ Ø α º ÓÖ Ø Ó ÓÒ Ò Û Ø Ö ÓÖ ØÓ Ö Ñ Ò Ø Ð ÓÖÑ Ð Ð Ú Ð Û Ò α > º Ï Ø Ò Ø ÕÙ Ð γ = α 3 γ = α Ò ÓÑÔÓ w ε ÓÖ Ò ØÓ Ø Ú Ö ÓÙ Ù ÓÑ Ò Ò ÓÑ Ø Ø Ô Ò Ò Ò ε ÓÖ ÑÔÐ Øݵ wετ) = i τ), D = D i Dw { D+, C ε +, B ε γ, D, Cε, D+, D, C }, w i τ) = )dη. D i Ì Ú ÐÙ Ó γ Ø Ð Ø Ø ÐÐÓÛ Ù ØÓ ÔØÙÖ Ø ÓÖÖ ØÓÖ Ø Ü Ø Ð Ñ Ø Ò Ø Öѵ ÖÓÙÒ Ø ÓÖ Ò Û Ð γ Ò ÒÓÒ¹ÓÔØ Ñ Ðµ Ð Ø Û Ø ÐÓÒ ¹ Ö Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ú Û Ö Ø Ø Ò ÖÓÙÒ Ø ÓÖ Òº ÒÒÓÙ ÖÐ Ö Û Û ÐÐ ÓÙ ÓÒÐÝ ÓÒ Ø Ø ÖÑ w w Ò w 3 º ÇÙÖ Ñ Ò Ø Ò ÕÙ ØÓ ÔÖÓÚ Ø ÓÖ Ñ ¾º½ Ò ¾º¾ Ö ÙÐ Ø Ñ Ø ÓÒ Ó Ø Ô Ò Ò Ó Ø ÙÒØ ÓÒ F ε ÓÒ ξ Ò ηº Ì ÑÓÙÒØ ØÓ Ò ÐÝÞ Ò Ø Ö ÒØ Ó ÐÐ ØÓÖÝ ÒØ Ö Ð ÒÚÓÐÚ Ò Ø Ò Ø ÓÒ Ó F ε Ó ØÓ Ó Ø Ò ÓÔØ Ñ Ð Ø Ñ Ø º È ÖØ Ó Ø Ø ÖÖ ÓÙØ Ò Ø ÔÔ Ò Ü Ò Ä ÑÑ º¾ Û Ö Û ØÙ Ý Ô Ö Ñ ØÖ Þ Ó ÐÐ ØÓÖÝ ÒØ Ö Ð Ó Ø ÓÖÑ τ ε a t dtds exp { isa}exp{ itb} exp {isψ}ft, s), Ò Ó Ø Ò ÙÖ Ø Ø Ñ Ø Ó Ø Ö Ú ÓÖ B Ò Ψ ÓÑ Ð Ö º ÁÒ Ø ÓÒ º½ º¾ º Û ÓÛ Ø Ø ÖÑ w w Ò w 3 Ø Ò ØÓ Þ ÖÓ ÓÖ α Ò d Û Ð Ø ÓÔØ Ñ Ð Ø Ñ Ø ÓÖ δ = Ö Ó Ø Ò Ò Ø ÓÒ º Ì α > Ö Ò Ø ÓÒ Ò Ø ÓÒ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ØØ Ò Ò Ø ÓÒ º ÌÓ ÓÒÐÙ Ø ÓÙØÐ Ò Ö ÐÐ Ø Ø Ø ØÓØ Ð ÒØ ÐÐ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ w ε Ø ÙÑ Ó wε Ò wε ¾º µº ËØ ÖØ Ò ÖÓÑ ¾º µ Ø ÜÔÖ ÓÒ Ó wε Ñ Ý Ö Ø w ετ) = ε π d R d dξdη ˆRξ η) ˆRη)F ε τ, ξ, η)g ε τ, ξ, η),

15 ½ η D + S C D + C + ε η = D C ε B ε γ η = η S D C ÙÖ ½º ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ó Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ ÓÑ Ò Ò η Û Ò d = º Ì Ù ÓÑ Ò D + ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø ÞÓÒ º Û Ö G ε τ, ξ, η) = τ σ σ σ,σ =± R d dxdp exp ψ ε x, p,[z]) = t σ =± { dtds exp i [ ε { i ε αx ξ σ ϕ } ]} σ sξ η) η q t s)ξ + sη) { i exp εαp t s)ξ + sη) } W x, p) ψ ε x, p,[z]), ε α x τ t)σ η + τq + ε α p) σ τ t + s)ξ η), q + ε α p σ η ) σ ξ η),

16 ½ º Ä Æ Çº ÈÁÆ Í Ò [z] = τ, t, s, ξ, η, σ )º Ø Ö Ø Ò Ó Ú Ö Ð s ε α s G ε Ö ÖÓÔÔ Ò Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ε ØÓÖ µ G ε τ, ξ, η) := σ G ε σ τ, ξ, η), G ε σ τ, ξ, η) = σ =± τ ε α t exp { i dtds exp { iσ sξ η/} exp } { i ε αsψ σ η) ε αt εα s)ξ a ε ξ, ε α t ε α s)ξ sη,[z ε ] ). ÑÔÐ Ò Ô Ø ÓÒ Ø Ò ÓÛ Ø Ø Ø ÜÔÖ ÓÒ Ó w ε ÜØÖ Ñ ÐÝ ÐÓ ØÓ Ø Ø Ó w ε ØÙ ÐÐÝ ÕÙ Ð ÙÔ ØÓ ÓÖ Ö Ø ÖÑ Ò ε Ø Ö ÔÔÖÓÔÖ Ø Ö Ð Ò µ Ø Ú Ö Ð η Ð Ó ÐÓ Ð Þ ÓÒ Ø ÙÖ S Ò S Ò Ø Ð Ñ Ø Û ÐÐ ξ Ø Ø ÓÖ Òº Ì α = Ñ ØÓ Ý Ð Ö ÒØ Ö ÙÐØ Ø Ò w ε Ù Ó Ø ÜØÖ ε α s ØÓÖ º Ì Ý ØÙ ÐÐÝ Ú ÒÓ Ò Ù Ò Ø Ø Ð Ñ Ø ÜÔÐ Ò ÙÖØ Ö Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÓÒ º À Ò ÐÐ Ø Ñ Ø Ó Ù ÓÖ w ε Ò ÔÔÐ ØÓ w ε Û Ø Ú ÖÝ Û ÑÓ Ø ÓÒ Ò ÓÛ Ø Ø w ε Ò w ε Ö Ø Ñ Ð Ñ Øº Ï Û ÐÐ Ø Ö ÓÖ ÒÓØ Ò ÐÝÞ w ε Ò Ø Ð Ò ÓÙ Ñ ÒÐÝ ÓÒ w εº } º Ì α [, ] º½º ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ó D := D+ º ÇÙÖ Ø ÖØ Ò ÔÓ ÒØ º µ Û Ø Ø Ö Ð Ø Ò Ø ÓÒ º ÇÙÖ Ó Ð ØÓ Ø Ñ Ø F ε Ò ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ø w Ø Ò ØÓ Þ ÖÓº ÓÖ Ø Û Ö Ø Ò Ò Ø Ñ Ø ÓÖ Ø ÙÒØ ÓÒ a ε Ø Ø Ñ ÖÓÑ ÔÔÐÝ Ò Ä ÑÑ º½ Ó Ø ÔÔ Ò Ü Û Ø γ = α r = r = h = α Ò Û Ò n k, l =, ÔÓ ÒØÛ Ò ÐÐ Ú Ö Ð k t l sa ε ξ ε, ε α tξ ε sη, z ε) C n ε α ξ ε η k + η k ) ε α η l + ε α ξ ε k η l + ξ ε + ε α tξ ε sη ) n ε α ξ ε η. º½µ ÒÒÓÙÒ Ò Ø ÓÙØÐ Ò Û ÓÑÔÓ F ε F ε = F ε + R ε, R ε = F ε σ =± F ε σ F ε σ, º¾µ Ò ÔÐ Ø w := w L + wn ÓÖ Ò ÐÝ Ð Ò Ò Ò Ð Ð Ô ÖØ º Ï ØÖ Ø Ø ØÛÓ Ø ÖÑ Ô Ö Ø Ðݺ Ì Ö Ø Ø Ô Ó Ø Ò ÐÝ ØÓ ÓÒØÖÓÐ F ε Ù Ò º½µº Ê ÐÐ ÓÖ Ø Ø Ø Ø Ö Ø Ö Ø ÙÖ Ò D+ Ú Ò Ý {η, η ) R R d, η, η = η η ) := } η. Ï Ø Ò Ô Ö ÓÖÑ Ø Ò Ó Ú Ö Ð η η η ) + ε α η Ò Ò ¾º µ ÒØÖÓ Ù Ø ÒÓØ Ø ÓÒ η ε = η η ) + ε α η, η )º Ì Ô Ψ Ö Ø Ö Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ψ η ε ) = ε α η η η ) ) ε α η.

17 ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ ÓÒØÖÓÐ F ε Û Ò ØÓ ÓÙÒ Ψ ÖÓÑ ÐÓÛº Ì Ø Ñ ÖÓÑ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÑ ØÖ Ð ÓÒ ØÖ ÒØ Ò Ø ÓÑ Ò D + ½ ε 3 α) η ε = η η ) + η α η + η, ÐÓÒ Û Ø η º Ì Ö Ð Ø ÓÒ Ý Ð η η ) + η α η, º µ η η ) η η ) + ε α η ) η η )) = η, Ó Ø Ø Ψ = ε α η η η ) η η ) + ε α η )), ε α η η. º µ Í Ò º½µ Û ÔÔÐÝ Ä ÑÑ º¾ Ó Ø ÔÔ Ò Ü Û Ø a = h = α γ = α A = ξ ε η ε B = ξ Ψ = Ψ ε α Ò r = º Ô Ò Ò ÓÒ Ø Ú ÐÙ Ó ξ Ò η Û Ù ÓÙÖ Ö ÒØ Ø Ñ Ø º Ä ÑÑ º¾ Ú ÔÓ ÒØÛ Ò η ε D + Ò ξ ε R d n F ε τ, ξ ε, η ε ) C n ξ ε n Ψ Ψ Ψ 3 Ψ 4, Ψ =, Ψ = η η ) + ξε η ε + η ε ), Ψ 3 = ξ + ξ ε + η ε ), Ψ 4 = ξ η η ) + ξε η ε + η ε + ξ ε + ε α ξ ). Í Ò Ø Ø Ø Ø η ε Ò Ø ÓÑ Ò D+ ØÓ Ø Ö Û Ø ÓÖ n ξ ε n ξ ε + ε α ξ ) ξ ε n ), Û ÖÖ Ú Ø F ε τ, ξ ε, η ε ) C ξ n Ψ Ψ Ψ 3 Ψ 4, º µ Ψ =, Ψ = η η ), Ψ 3 = ξ, Ψ 4 = ξ η η ). Ò Ò Ø ÙÒØ ÓÒ f Ò g Ý ) fη, η ) = η 3/ η ) 3 4, gξ ) = ξ 3/, Û Ø Ý ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ g L R) L R) f L R B ) L R B ) B Ò Ø d Ñ Ò ÓÒ Ð ÙÒ Ø ÐÐ Û Ò Ø Ù ÓÒØÖÓÐ F ε Ý F ε C ξ ε n gξ )fη, η ). º µ Ì ÔÖÓÚ Ù Û Ø Ø Ö ÓÙÒ º ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ Ø Ñ Ø w Ø Ö Ñ Ò ØÓ ØÖ Ø Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ ξ Ò η Ò Ø Ù Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ò Ò ÙÐ Ö Û Ò δ > µ Ø ÖÑ ˆRη ε ) Ò ˆR ε ξ ε, η ε ) = ˆRε α ξ ε η ε ) Ò º µº ÓÖ Ø Ö Ø

18 ½ º Ä Æ Çº ÈÁÆ Í Ø ÖÑ Û Ú Ù Ò º µ Ó Ø Ø η ε ε α 3 Û Ò η ε D+ Ö ÐÐ Ø S ÐÓÛ Û Ò Ò ½º µµ ½ D + η ε )Sη ε ) η ε δ S L ½ η ε α 3 ) η ) η δ + ½ η ε α η 3 )ε α 3 δ. º µ ÓÖ Ø ÓÒ Ø ÖÑ ˆR ε ξ ε, η ε ) ÙÑ Ö Ø Ø Ø ξ ε ε γ Û Ø < γ < α) 3 º Ë Ò η ε ε α 3 ÓÖ Ò ØÓ º µ Ø Ö Ü Ø ÓÖ ε ε Ñ ÐÐ ÒÓÙ ÓÒ Ø ÒØ C ε Ù Ø Ø ε α ξ ε η ε C ε ε α 3, Ò Ø Ö ÓÖ ÓÖ η ε D+ ˆRε α ξ ε η ε ) C ε S L ε δ α) 3, Û Ò ξ ε ε γ. º µ Ì ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø Ø { ξ ε > ε γ } Ó Ö ÓÖ Ö Ø Ò ØÓ Ø Ö ØÖ ÖÝ Ý Ó ξ ε n º ÅÓÖ ÔÖ ÐÝ Û Ú ÒØÖÓ Ù Ò D,ε = {η R d, η ε D } w L τ) = ε d α)+α dξdη R d D,ε π) ˆR d ε ξ ε, η ε ) ˆRη ε ) F τ, ε ξ ε, η ε ), = )dξ + )dξ := T + T. ξ ε ε γ ξ ε >ε γ Í Ò º µ Ò º µ T ÓÒØÖÓÐÐ Ý δ α) d α)+α T Cε 3 S L dξdη ξ n η ε δ gξ )fη, η ), ξ ε ε γ D,ε δ α) d α)+α Cε 3 S L D dη η ε δ fη, η ),,ε Ò g L L º ÅÓÖ ÓÚ Ö Ø Ò ØÓ º µ C D dη η ε δ fη, η ),ε R ε α 3 η +ε δ α) 3 R dη dη η δ fη, η ) η ε α 3 dη dη fη, η ). ÌÖ Ø Ò Ø ÓÑ Ò η Ò η > Ô Ö Ø ÐÝ Ò Ù Ò Ø Ø Û Ò η Û Ò Ó Ø Ø C D,ε dη η ε δ fη, η ) η ) 3 4 3/4, / ε α 3 r d δ + ε d δ) α)/3 +, = O + ε d δ) α)/3 ), º µ δ α) d α)+α T Cε 3 + ε d δ) α)/3 ). º½¼µ

19 Ê Ö Ò T Û ÒÓØ Ý B Ø ÐÐ ÒØ Ö Ø ε α η ε Ó Ö Ù ÓÒ Ò Ý B c Ø ÓÑÔÐ Ñ ÒØ ÖÝ Ò R d º Ï Ú T Cε d α)+α dξdη S ˆRη ε ) L ξ ε >ε γ D,ε ε α ξ ε η ε δ ξε n gξ )fη, η ), [ ] := Cε d α)+α S L +. D,ε { ξ ε >ε γ } B D,ε { ξ ε >ε γ } B c ÁÒ Ø Ö Ø Ø ÖÑ Û Ô Ö ÓÖÑ Ø Ò Ó Ú Ö Ð ξ ε α ξ Û Ý Ð Ò ÒØ Ö Ø ÓÒ Ó ξ ÓÒ Ø ÓÑ Ò { ξ > ε γ } B Ò ÐÓ Ó ØÓÖ ε α º Ë Ò δ < d Ø ÙÒØ ÓÒ ξ ε α η ε δ ÒØ Ö Ð ÓÒ Bº Ì ÑÔÐ Ø Ø Ø Ö Ø Ø ÖÑ ÓÙÒ Ý n Cε d δ) α)+α α+γ n dη ˆRη ε )fη, η ), D,ε Û Ø Ò ØÓ º µ ÓÒØÖÓÐÐ Ý h ε = Cε d δ) α)+α α+γ n + ε d δ) α)/3 ). Ì ÓÒ Ø ÖÑ ÓÒØÖÓÐÐ Ò T Ð Ó Ö ÐÝ ÓÙÒ Ý h ε º ÁØ Ò ÐÐÝ Ù ØÓ ÓÓ n Ð Ö ÒÓÙ Ó Ø Ø δ α) d α)+α h ε ε 3 + ε d δ) α)/3 ) ØÓ Ó Ø Ò Ø Ø T Ö ÓÖ Ö Ø Ò T º Ì Ñ Ò Ö ÙÐØ Ó Ø Ø ÓÒ Ø Ö ÓÖ Ø Ø ÔÓ ÒØÛ Ò τ ) w L δ α) d α)+α τ) = O ε 3 + ε d δ) α)/3 ). º½½µ ÐÓ Ò Ô Ø ÓÒ Ø Ò ÓÛ Ø Ø δ, d) α [, ] ÓÖ d Û Ú ÔÓ ÒØÛ Ò τ w L τ) ε. ½ Ê Ö Ò Ø Ö Ñ Ò Ö R ε Ò Ò º¾µ Ø Ö Ö ØÛÓ ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ º Ì Ý ÓØ ÒÚÓÐÚ Ø Ô ØÓÖ Ψ Ø Ø Ö Ψ η ε ) = η η ) + ε α η + η η ) + ) ε α η, η η ) + η η ) + ε α η + ε α η η η ), η η ) + ε α η ) η η ) η, Ò η + ε α η = η η ) + ε α η ÓÖ Ò ØÓ º µº ÓÒØÖ ÖÝ ØÓ Ψ Ψ ÓÙÒ ÖÓÑ ÐÓÛ Ò Ô Ò ÒØÐÝ Ó ε Ó Ø Ø Ø Ó ÐÐ ØÓÖÝ Ø ÖÑ exp{isε α Ψ } ÔÖÓÚ Ò Ø ÓÒ Ð Ú Ö Ò Ø Ø Ø Ö Ò Ö R ε Ó Ö ÓÖ Öº ÈÖÓ Ò ÓÖ F ε Ò Ù Ò Ä ÑÑ º¾ Û Ò Ø Ø Ñ Ø F ε C ξ n Ψ Ψ Ψ 3 Ψ 4,

20 ¾¼ º Ä Æ Çº ÈÁÆ Í Û Ø Ì Ö ÓÖ Ù Ò º µ Û Ú C F ε F ε ξ ε n gξ ) Ψ =, Ψ = ε α η η ), Ψ 3 = ξ, Ψ 4 = ε α ξ η η ). ε α) η η ) ) ε α)/ η / η 3/ η ) 3 4 º½¾µ ) Û Ö g Ò º µº Ï Ø Ò ÔÖÓ ÓÖ F ε Ò ÙÒ ÖÐ Ò Ö ÓÒÐÝ Ø Ñ Ò Ö Ò º ÓÒ Ö Ö Ø Ø ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ ÓÖ η º Ï ÓÒØÖÓÐ F ε F ε Ù Ò Ø Ö Ø Ø ÖÑ ÓÒ Ø Ö Ø Ò Ó º½¾µº Ë Ò Ø Ø ÖÑ η Ú Ð η Ò Ö Ø ÓÖ Ò r d δ Ò º µ ØÓ Ö ÔÐ Ý r d 4 δ Ò Û ÐÓ ØÓÖ ε α) 3 ÓÑÔ Ö ØÓ w Lº Ì ÓÑÔ Ò Ø Ý Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ε α Ò Ý Ð Ò ÓÚ Ö ÐÐ Ò Ó ØÓÖ ε α) 3 ÓÑÔ Ö ØÓ w Lº Ï Ò εα η Û Ù Ø ÓÒ Ø ÖÑ Ó º½¾µº Ì Ø ÖÑ η / Ö Ø Ò ÐÓ Ó ε α) 3 Ø ÓÚ Ö ÐÐ Ò ØÓÖ ε α) 6 ÓÑÔ Ö ØÓ w L º Ï ÔÖÓ Ü ØÐÝ Ø Ñ Û Ý ÓÖ F ε Ò Ó Ø Ò Ò ÐÐÝ Ø Ø w N Ò Ð Ð ÓÑÔ Ö ØÓ wl Û Ò ε º Ð Ñ Ò Ø ÓÙØÐ Ò Ø Ö ÙÐØ Ó Ø Ø ÓÒ Ò Ö ØÐÝ Ò Ö Ð Þ ØÓ Ø ÓÑ Ò D Ò ØÓ wεº Ì Ò Ø Ø ÓÒ ÓÙØ Ø ÓÑ Ò D º º¾º ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ó D := C + º Ì Ñ Ø Ó Ø Ñ Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÓÑ Ò D Û Ö Ø Ò Ò Ø Ñ Ø ÓÖ F ε Ò Ø Ò ÓÛ Ø Ø w Ó ØÓ Þ ÖÓº Ï Ú Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÑ ØÖ Ð ÓÒ ØÖ ÒØ Ò Ø ÓÑ Ò D ε α ) η ε α) 3, η. º½ µ ËØ ÖØ Ò ÖÓÑ º µ Û Ô Ö ÓÖÑ Ø Ò Ó Ú Ö Ð η ηε α/) s s α sº Ì Ý Ð w τ) = ε d α)+d α )+α ˆR ε ξ ε, ε α/ η) ˆRε α/ η) F ε τ, ξ ε, η) dξdη R d D,ε π) d, º½ µ Û Ö D,ε = {η R d, ε α/) η D }º Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ø ÓÒ F ε Óѹ ÔÓ Û Ø Ñ ÒÓØ Ø ÓÒ F ε = F ε + R ε. º½ µ Ï ÔÐ Ø w := w L + wn ÓÖ Ò ÐÝ ÒØÓ Ð Ò Ò Ò Ð Ð Ô ÖØ º F ε Ö τ t { } F τ, ε ξ ε, η) = dtds exp iε 3α/) sξ ε η/ exp { } itξ { } i ) exp ε α/sψ η) a ε ξ ε, ε α tξ ε ε 3α/) sη,[z ε ], Ψ η) = η ε α/ ) η + η,

21 ¾½ Û Ø [z ε ] = τ, t, s, ε α ξ ε, ε α/) η, )º Ì Ô Ψ Ú Ò ÓÖ ) η = η η ) = ε α/) ε α/) η. Ï Ø Ò Ø η η η ) + ε α/ η Ò ÒØÖÓ Ù Ø ÒÓØ Ø ÓÒ η ε = η η ) + ε α/ η, η )º Ì Ô Ö Ø Ö Ø Ð ØØ Ö Ò Ó Ú Ö Ð Ψ = ε α/ η ε α/ η η ) ) εη, Ò Ø ÓÒ ØÖ ÒØ º½ µ ÓÑ η ε = η η ) + η α/ η + η ε 4 α) 6, η η ) + η α/ η. Ì Ò Ø ÓÒ Ó η Ú ε α/ η º Ì ØÓ Ø Ö Û Ø Ø ÓÒ ØÖ ÒØ ÓÚ Ý Ð Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Û Ò η ε D,ε ε α/ η η ) εη = ε α/ η η ) + ε α/ η ) ε α/ η η ) ε α 3 = ε α) 3 ) C >, º½ µ ÓÖ ε Ñ ÐÐ ÒÓÙ º Ì ÑÔÐ Ψ C ε α/ η, η ε D,ε. º½ µ ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ ÔÔÐÝ Ä ÑÑ º¾ Û Ù Ö Ø Ä ÑÑ º½ Û Ø h = r = α/ r = 3α/ Ò Ó Ø Ò Ø Ø Ñ Ø k t l sa ε ξ ε, ε α tξ ε sε 3α/ η ε, z ε) C ε α ξ ε ε α/ η ε k + ε α/ η ε k ) ε 3α/ η ε l + ε α ξ ε k ε 3α/ η ε l + ξ ε + ε α tξ ε sε 3α/ η ε ) n ε α ξ ε ε α/ η ε. Ï Ò ÜØ ÔÔÐÝ Ð ÑÑ º¾ Û Ø a = h = γ = α A = ε 3α/ ξ ε η ε B = ξ Ψ = Ψ ε α/ r = α/ r = 3α/º Ï Ò Ù Ò º½ µ Ò Ø ÒÓØ Ø ÓÒ Ó Ø Ä ÑÑ I = ε α ξ ε ε α/ η ε, I ε α η + ε 3α/ ξ ε η ε + ε 3α/ η ε ) ξ ε ε α/ η ε, I 3 ε α ξ + ξ ε + ε α/ η ε ) ξ ε ε α/ η ε. Ë Ò η ε ε 4 α)/6 n Û Ú Û ÑÔÐ Ø Ø ξ ε n I ε α ξ ε n ) η + ε 4α)/3 ) ξ ε ε α/ η ε, ξ ε n I 3 ε α ξ ε n ) ξ ξ ε ε α/ η ε, F ε Cε α) ξ ε n + ε 4α)/3 )Hξ, η ) ξ ε ε α/ η ε, º½ µ

22 ¾¾ Û Ö º Ä Æ Çº ÈÁÆ Í Hξ, η ) = ξ 3/) η ξ ). ÖÓÑ º½ µ Ø ÒØ ÐÐ Ø ÓÒ w L Ø Ò ÓÒØÖÓÐÐ Ý w L τ) Cε d α)+d α/) α/ dξdη ˆR ε ξ ε, ε α/ η ε ) ˆRε α/) η ε ) R d D,ε ξ ε n + ε 4α)/3 )Hξ, η ) ξ ε ε α/ η ε, Cε d δ) α)+d δ) α/) α/ S L R d D,ε dξdη ξ ε ε α/ η ε δ η ε δ, ξ ε n + ε 4α)/3 )Hξ, η ). Ï ÓÒØÖÓÐ Ø Ð ØØ Ö ÒØ Ö Ð ÓÖ ξ Ò η ÓÒÐÝ ØÖ Ø Ò Ø ÑÓ Ø Ø Ò Ð Ô ÖØ Ò Ø Ðº Ì ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÒØ Ö Ð ÒÓØ Ý Iº Ì Ö Ñ Ò Ò Ô ÖØ ÑÔÐ Ö ØÓ Ø Ð º Ï Ú n ÓÖ ÓÑ γ > ξ ε n Hξ, η ) ε γ η ξ γ ξ ε n ). ÇÛ Ò ØÓ Ø Ø Ø Ø η ε Ò D,ε Ø Ý Ð η ε δ ½ ε 4 α) 6 η η ) η δ + ½ η η ), η ε D,ε. º½ µ Ò ε α/ η Ò η η ) + η α/ η ε 4 α) 6 Û Ò Ø Ø η ε Û Ò η ε D,ε º ÙÑ Ö Ø δ Û ÑÔÐ Ò Ö ÐÝ Ø Ø d > µº Ï Ú Ù Ò º½ µ ε I dξ dξ dη dη ξ n ξ ε α/ η δ ε γ η ξ γ R d + R d η log ε ε γ + log ε ε γ R d ε 4 α) 6 η R d ε dξ dξ dη dη ξ n ξ ε α/ η δ η δ ε γ η ξ γ, dξ dη ξ n ξ ε α/ η δ η Ì ÑÔÐ Ò δ < d Ò ε 4 α) 6 η dξ dη ξ n ξ ε α/ η δ η δ R d dξ ξ n ξ ε α/ η δ C, Û Ö Ø ÓÒ Ø ÒØ C Ó ÒÓØ Ô Ò ÓÒ η Ø Ø I C log ε ε γ + 4 α) 6 drr d δ ) = O º¾¼µ log ε ε γ 4 α) 6 d δ) ). º¾½µ

23 ¾ Ï Ò δ < Û Ú Ò η ε ε 4 α)/6 Ò Ó Ø Ò ξ ε n ξ ε ε α/ η ε δ C ξ ε n ) + ε α/ η ε δ ), I = O C ξ ε n ) + ε α/ 4 α)/6) δ) ) º¾¾µ log ε ε γ+α/ 4 α)/6) δ) 4 α) 6 drr d δ ) = O ) log ε ε γ+α/ δ) 4 α) d+ δ) 6. º¾ µ Ì η Ò ξ Ö ÑÔÐ Ö Ò Ý Ð Ö ÓÖ Ö Ø ÖÑ Ø Ò º¾½µ Ò º¾ µº Ì Ö ÓÖ Ó Ò ØÓ w L Û Ò Û Ò δ w L τ) = O log ε + ε 4α)/3 )ε d δ) α)+d δ) α/) α/ 4 α) 6 d δ) γ ), = O log ε + ε 4α)/3 )ε 4 3 d δ) α)+ 3 α) γ ), = O log ε ε 4 3 d δ) α)+ 3 α) γ ), Û Ò α 4, = O log ε ε 4 3 d δ) α)+ α γ ), Û Ò 4 α. Ë ØØ Ò ÓÖ Ò Ø Ò γ = 3 d δ) α) Û ØÖ ØÐÝ ÔÓ Ø Ú Ò δ < d Ò α Û Ú δ [, d) α [, ] ÔÓ ÒØÛ Ò τ Ï Ò δ < Û Ò w L τ) ε. º¾ µ w L τ) = O log ε + ε 4α)/3 )ε d δ) 3α/)+α/ α/δ 4 α) 6 d+ δ) γ ), = O log ε ε 3 d δ ) α) γ ), Û Ò α 4, = O log ε ε 3 d δ ) α)+ 3 4α) γ ), Û Ò 4 α. Ä Ø γ = δ > º Ì Ò Ò d 3 d δ ) α) + 3 4α) γ α + 3 γ α) γ. Ë ØØ Ò ÓÖ Ò Ø Ò γ = 3 γ α) Ø Ò Ý Ð º¾ µ ÓÖ δ [, ) Ò α 4 º Ì Ñ ÓÐ ÓÖ Ø ÑÔÐ Ö α 4 º Ê Ö Ò Ø ÓØ Ö ÒØ ÐÐ Ø ÓÒ wn Ò Ø Ö Ð Ø Ø ÖÑ R ε Û ÔÖÓ Ü ØÐÝ ÓÖ w N Ò Ø ÓÒ º½ Ò ÒÓØ Ø Ø Ø Ô ØÓÖ Ψ Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÙÒ ÖÓÑ ÐÓÛ Ψ = η η ) + ε α/ η + ε α/ η η ) + εη η η ) ε α/) η Cε α/), ÓÖ ε Ñ ÐÐ ÒÓÙ º ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ô Ý Ø Ô Ø Ñ Ø Ó Ù ÓÖ w N ÓÛ Ø Ø wn Ò Ð Ð ÓÑÔ Ö ØÓ w L º Ï Ó ÒÓØ Ó ÒØÓ ÙÖØ Ö Ø Ð º ),,

24 ¾ º Ä Æ Çº ÈÁÆ Í Ì ÓÒÐÙ ÓÒ Ó Ø Ø ÓÒ Ø Ø δ [, d) α [, ] ÔÓ ÒØÛ Ò τ w τ) ε. º¾ µ ÓÖ Ø ÓÒ º½ Ø Ð Ø Ö ÙÐØ Ò Ò Ö Ð Þ ØÓ Ø ÓÑ Ò D Ò ØÓ w ε Û Ø ÓÙØ ÙÐØݺ º º ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ó D 3 := B ε γ º Ï Ò η D 3 Û Ú η ε α ). º¾ µ ËØ ÖØ Ò ÖÓÑ º µ Û Ô Ö ÓÖÑ Ø Ò Ó Ú Ö Ð η ηε s s α sº Ì Ò F ε σ τ, ξ ε, η) = τ t dtds exp { iσ ε α sξ ε η/ } exp { itξ } exp {isψ σ η)} a ε ξ ε, ε α tξ ε ε α sη,[z ε ] ), Ψ σ η) = η + σ ) ε η + η, [z ε ] = τ, t, s, ε α ξ ε, εη, σ ). ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ Ó Ø Ò Ò ÓÔØ Ñ Ð Ø Ñ Ø Û ÜÔ Ò a ε Ò ÔÓÛ Ö Ó εº ÓÖ Ò ØÓ º¾µ Û Ò ØÓ ÜÔ Ò ψ ε x, p,[z ε ]) = σ ϕ ε α x + τ t)σ ε α ξ εη) + τq + ε α p) σ =± Ý ÐÙÐ Ø ÓÒ Ý Ð ψ ε = ψ ε + εψ ε, + σ τ t + s)εη, q + ε α p + σ ε α ξ εη) + ) σ εη. ψ ε = [ ε α ξ εη) τ t) x + p ) ] ϕε α x + τq + ε α p), q + ε α p) Û Ö ψ ε Ø ÓÖ ÐÐ ÑÙÐØ ¹ Ò i Ò j ÔÓ ÒØÛ Ò η, ξε ÓÖ τ, t, s ÓÙÒ k =, k t i x j pψ ε x, p,[z ε ]) C η ε α ξ ε εη. º¾ µ ÁÒ Ø Ñ Û Ý Û Ú { exp iσ ε α sξ ε η + iε σ s η } = iσ ε α sξ ε η + εψ 3, Û Ö Ø ÙÒØ ÓÒ ψ 3 Ú Ö n Ò ÓÖ s ÓÙÒ σ =± ξ ε n ψ 3 ξ ε n ) η. º¾ µ Ì ÑÔÐ Ø Ø { σ exp iσ ε α sξ ε η + iε σ s η } ψ ε = iε α sξ ε ηψ ε + εψ4, ε Û Ö ψ4 ε Ø Ù Ò º¾ µ k t ψ ε 4 C ξ ε n + η ) ε α ξ ε εη. º¾ µ

25 ¾ ÓÒ ÕÙ ÒØÐÝ Û Ò ÛÖ Ø F ε = σ =± τ Fσ ε = iε α ξ ε η) t a ε = FW ψ ε )ξ ε, ε α tξ ε ε α sη,[z ε ]), a ε = FW ψ ε 4)ξ ε, ε α tξ ε ε α sη,[z ε ]). Ï Ø Ó Ú ÓÙ ÒÓØ Ø ÓÒ Û Ö Ø Ø Ð ØØ Ö Ý Ø Ñ dtdss exp { itξ } exp { isη } a ε + εa ε ), F ε = L ε + R ε, R ε = ε α r ε, L ε τ t = 4 ε α ξ ε η) dtdss exp { } { } itξ exp isη a ε, Ò Ø ÒØ ÐÐ Ø ÓÒ w 3 Ö w 3 τ) = ε d α)+d+α := w L 3 τ) + w R 3 τ). R d B ε α/ dξdη π) d ˆR ε ξ ε, εη) ˆRεη)L ε + R ε ), ÓÒ Ö Ö Ø Ø Ð Ò Ø ÖÑ w3 Lº Ì ÙÒØ ÓÒ aε Ø Ý Ò Ø Ø Ñ Ø Ó Ä ÑÑ º½ Û Ø γ = α r = r = h = Û ÔÔÐÝ Ä ÑÑ º¾ Û Ø γ = α A = B = ξ Ψ = η r = r = h = Ò Ò L ε Cε α) ξ ε n gξ ) η ε α ξ ε εη º ¼µ Û Ö g Ò Ò º µº Û Ú ξ ε ε α η δ = = ξ ε δ + ξ ε uε α η) η εα δ) ξ ε uε α du, η δ 4 ξ ε δ + εα hξ ε, η), º ½µ Û Ö h Ú Ö η Ò ξ º Ò δ < d ξ ε n hξ ε, η) dξ C η ξ ε n ξ ε uε α η 3 δ dudξ, R d R d C η ξ n ξ uε α η 3 δ dudξ C η, R d 3 δ < d, º ¾µ C η + ε α η 3 δ ), δ < 3.

26 ¾ º Ä Æ Çº ÈÁÆ Í Í Ò º ½µ Û Ø Ò ÛÖ Ø ÓÖ Ø ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ó L ε ØÓ Ø ÒØ ÐÐ Ø ÓÒ w3 L τ) = ε d δ) α)+d δ+α dξdη R d B π) dsε α ξ ε εη) ξ ε ε α η δ Sεη) η δ ξ ε ε α η L ε, ε α/ = ε d δ) α)+d δ+α dξdη R d B π) dsε α ξ ε εη) ε α/ ) ξ ε δ + εα hξ ε, η) Sεη) η δ ξ ε ε α η L ε, := ε d δ) α)+d δ+α T + T ), Û Ø Ó Ú ÓÙ ÒÓØ Ø ÓÒº Ì Ò Ó Ú Ö Ð η ε α/ η Ò T Ý Ð T = ε δ d)α/ dξdη π) dsε α ξ ε ε α/ η) R d B ξ ε δ Sε α/ η) η δ ξ ε ε α/ η L ε ε α/ η). ÓÖ Ò ØÓ º ¼µ Ø ÒØ Ö Ò ÓÒØÖÓÐÐ Ý n ε 4 α) α S L η δ ξ ε δ ξ ε n gξ ) η Cε 4 α) α S L η δ ξ n gξ ) η { ξ δ δ < d, := ε 4 α) α Hξ, η). Ì Ø ÐÐ Ù Ø Ø T = Oε δ d)α/+4 α) α ). δ <. º µ ÙÑ ÒÓÛ α = º Ï Û ÐÐ Ó Ø Ò Ò ÓÔØ Ñ Ð Ø Ñ Ø Ò Ø Ø Ø ÓÛ Ø Ø w3 L Ó ÓÖ Ö εd δ º Ë Ò Ø ÙÒØ ÓÒ H ÐÓÒ ØÓ L R d B ) Û Ò ÔÔÐÝ Ø Ä Ù ÓÑ Ò Ø ÓÒÚ Ö Ò Ø ÓÖ Ñ Ò Ó Ø Ò Ø Ø ÔÓ ÒØÛ Ò τ ε d δ)α/ 4 α)+α T S) R d B dξdη π) d ξ δ η δ lim ε ε 4 α)+α ξ ε ε α/ η L ε ε α/ η) Û Ø ÓÖ Ò ØÓ Ø Ò Ø ÓÒ Ó L ε Ò a ε Û Ò α = lim ε ε 4 α)+α ξ ε ε α/ η L ε ε α/ η) τ t = 4 ξ ξ η ) dtdss exp { } { } itξ exp isη a ξ, τ, t) a ξ, τ, t) = ψ τ, t) FW ξ, tξ ), ψ = [ ξ τ t) x + p ) ] ϕτq, q ).,

27 ÓÚ Û Ù Ø ÒÓØ Ø ÓÒ ξ =, ξ )º Ê Ö Ò T Ù Ò º ¼µ¹ º ¾µ Ò ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ô Ý Ø Ô Ø ÐÙÐ Ø ÓÒ ÓÖ T Û Ò T = Oε δ d)α/+α/+4 α) α ), Û Ò ÓÖ Ö ε α/ Ñ ÐÐ Ö Ø Ò T º ÌÓ Ø Ö Û Ø º µ Ø Ñ Ò Ö Ø Ø Ø δ [, d) α [, ] ÔÓ ÒØÛ Ò τ w L 3 τ) ε, º µ Ò Ø Ø Ø Ö Ü Ø ÒÓÒ¹ ÒØ ÐÐÝ Ú Ò Ò ÙÒØ ÓÒ f Ù Ø Ø Û Ò α = ε d δ) w L 3 τ) fτ). ¾ º µ Ê Ö Ò Ø Ö Ñ Ò Ö R ε Ø ÔÖÓÚ ØÓ Ò Ð Ð Û Ò α > Ò Ñ ÓÖ Ö Û Ò α = µ Ý Ñ Ñ Ò Ø Ø Ô ÓÖ L ε Ò Ù Ò Ø Ñ Ø º¾ µ ØÓ Ø Ö Û Ø Ä ÑÑ º¾º Ï Ð Ú Ø Ø Ð ØÓ Ø Ö Öº Ï ØÖ Ø ÒÓÛ ¾º µº Ì Ò Ø ÓÒ Ó w ε Ú ØÖ Ø ÓÖÛ Ö ÐÝ w 3 τ) w ετ), Ó Ø Ø ØÓ Ø Ö Û Ø º µ Ò Ø Ø Ø Ø w R 3 Ó Ö ÓÖ Ö Ø Ò wl 3 fτ) lim inf ε ε d δ) w ετ), Û Ý Ð ¾º µº Ì Ñ Ò Ö ÙÐØ Ó Ø Ø ÓÒ Ö Ø Ö ÓÖ ¾º µ Ò Ø Ø Ø Ø δ [, d) α [, ] ÔÓ ÒØÛ Ò τ w 3 τ) ε. º ÇÔØ Ñ Ð Ø Ñ Ø ÓÖ δ = Ò α [, ]º Ï ÓÑÔÐ Ø Ò Ø ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ø Ò ÐÝ Ó Ø α [, ] Ý ÓÛ Ò Ø Ø Ø Ø Ñ Ø Ó Ø Ò Ò Ø ÓÒ Ö ÓÔØ Ñ Ð Û Ò δ = º Ì α, ] Ö Ò Ø ÓÒ º Ë Ò ˆR ÓÙÒ Ò L Û Ò δ = Û Ò ÓÒ Ö Ø Û ÓÐ ÓÑ Ò D+ Û Ø ÓÙØ Ú Ò ØÓ ÓÑÔÓ Ø ÒØÓ Ù ÓÑ Ò ØÓ Ð ØÓ ØÖ Ø Ø Ò ÙÐ Ö ØÝ Ó ˆRº ÙÑ Ö Ø α > º Ï ÓÐÐÓÛ Ø Ô Ý Ø Ø Ô Ø Ð Ò Ó Ø ÓÒ º½ Ò ÓÑÔÓ F ε ÒØÓ Ð Ò Ò Ò Ð Ð Ô ÖØ º Ï ÐÖ Ý ÒÓÛ ÖÓÑ Ø Ö ÙÐØ Ó Ø ÓÒ º½ Ø Ø Ø Ð Ò Ø ÖÑ Ú Ò Ý w L Ò Ø Ù ÓÙ ÓÒ Ø Ø ÖѺ Ø Ñ Ø º µ ÔÖÓÚ Ø Ñ ÓÖ Þ Ò ÙÒØ ÓÒ ξ n gξ )fη, η ) Ø Ø ÐÐÓÛ Ù ØÓ Ù Ø Ä Ù ÓÑ Ò Ø ÓÒÚ Ö Ò Ø ÓÖ Ñ Ò Ô ØÓ Ø Ð Ñ Ø Ò Ø ÜÔÖ ÓÒ Ó w L º Ê ÐÐ Ø Ø { } D,ε = η, η ) R d, η η ) + ε α η, η ) D+, { } D+ = η, η ) R d, η, η.

28 ¾ º Ä Æ Çº ÈÁÆ Í Ì ÑÔÐ Ø Ø ÔÓ ÒØÛ Ò η ε = η η ) + ε α η, η ) ½ D,ε η ε ) ½ R η )½ B η ), º½µ Û Ö B d Ñ Ò ÓÒ Ð ÙÒ Ø Ðк À Ò ÔÓ ÒØÛ Ò τ lim ε ε d α) α+ w L dξdη τ) = lim R d π) d ½ D,ε ˆRε ξ ε, η ε ) ˆRη ε ) F τ, ε ξ ε, η ε ), ε dξdη = π) ˆR d η ) F τ, ξ, ξ, η, η ), R d R B Û Ö F ε Ò Ò º µ η = η η ), η ) Ò F τ, ξ, ξ, η, η ) = lim ε F ε τ, ξ ε, η ε ) a.e.. ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ ÒØ Ý F Û Ò ÒÓØ Ö Ñ ÓÖ Þ Ò ÙÒØ ÓÒº ÑÓÑ ÒØ Ø Ø α < º Ï ÛÖ Ø ÓÖ ξε Ò η ε Ü ÙÑ ÓÖ Ø a ε ξ ε, ε α tξ ε sη ) = a ε ξ ε, sη) + ε α tξ ε a ε ξ ε, uε α tξ ε sη ) du, := a ε ξ ε, sη) + ε α b ε. º¾µ ÓÚ ÒÓØ Ø Ö ÒØ Ó a ε x, y) Û Ø Ö Ô Ø ØÓ y R d º Í Ò Ø Ò Ø ÓÒ Ó a ε Ú Ò Ò º¾µ Ò Ø Ø Ø Ø W SR d ) Û Ò n ÓÖ k = ÓÖ k = Ó Ø Ø ) k a ε ξ ε, y) C + ξ ε + y ) n ε α ξ ε η ε, º µ b ε C ε α + η ε du + ξ ε + uε α tξ ε sη ε ) n. ÁØ Ø Ò Ð Ö Ø Ø tε α d b ε ds tε α ηi ε + dsdu i= + ξ ε + uε α tξ ε sη ε ) n C, º µ Û Ö ηi ε ÒÓØ Ø i¹ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó Ø Ú ØÓÖ ηε Ò C Ó ÒÓØ Ô Ò ÓÒ εº À Ò ÓÛ Ò º µ º¾µ Ò º µ F ε Ñ Ø Ø ÜÔÖ ÓÒ F τ, ε ξ ε, η ε ) = Oε α )+ τ dtds½ s ε α t exp {isξ ε η ε /} exp { { } } i itξ exp ε αsψ a ε ξ ε, sη ε ). R Ï Ø Ò Ô Ö ÓÖÑ Ø Ò Ó Ú Ö Ð s s η ε Ò Ø ÜÔÖ ÓÒ ÓÚ Ò ÒØÖÓ Ù Ø ÒÓØ Ø ÓÒ η ε = η ε η ε º ÓÖ Ò ØÓ º µ Û Ú n a ε ξ ε, s η ε ) C ξ n s n.

29 ÔÔÐÝ Ò Ø Ä Ù ÓÑ Ò Ø ÓÒÚ Ö Ò Û Ø Ø Ð ØØ Ö Ñ ÓÖ Þ Ò ÙÒØ ÓÒ ØÓ Ø Ö Û Ø ¾ i ε αs ηε Ψ η ε ) isη η η ) /, a.e., Û Ó Ø Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ð Ñ Ø ÓÖ F ε τ F τ, ξ, ξ, η, η ) = η dtds exp { is η ξ η / } exp { } itξ { exp is η ) / η η } a ξ, sη η ), τ { } = η ) / dtds exp is η ) / ξ η / exp { } { } itξ exp isη a ξ, s η ) / η ) Û Ö a = ψ FW ), ψ = σ =± σ ϕ τq + σ )τ t)η, q ) + σ )η. Ì Ò Ø ÓÙÖ Ö¹ÈÐ Ò Ö Ð Ø ÓÖ Ñ Ý Ð Ø Ò Ð ÜÔÖ ÓÒ lim ε ε d α) α+ w L τ) = τ dtdsdξ dη = ˆR η ) a R d B π) d ) η ξ, s η ) / η ), τ dtdsdξ dη = ˆR η ) B π) d ) η ) / a ξ, sη ). º µ R d Ï Ò α = Û ÑÔÐÝ ÓÒØÖÓÐ a ε Ý a ε ξ ε, tξ ε sη) C + ξ ε + ε α tξ ε sη ε ) n C + ξ + tξ sη ) n Û ÔÖÓÚ Ñ ÓÖ Þ Ò ÙÒØ ÓÒ Ò ÐÐÓÛ Ù ØÓ Ô ØÓ Ø Ð Ñ Øº Ò ÐÐÝ Û Ø Ò Ø ÓÖ α = lim ε ε d α) α+ w L τ) = τ dtdsdξ dη = ˆR η ) R d B π) d ) η ) / a ξ, tξ sη ). º µ

30 ¼ º Ä Æ Çº ÈÁÆ Í Ì α = Ø ÑÓ Ø Ö Ø ØÓ ØÖ Ø Ò Ý Ð Ø Ö ÙÐØ lim ε ε d+ w L τ) = ˆR η ) π) d dξdη η ) / ψ = R d σ =± R B τ t dtdse isξ η e itξ e isη FW ψ) ξ, sη ), σ ϕ x + τ t)σ ξ η ) + τq τ t + s)η, q + σ ξ η ) η ). Í Ò Ò Ø ÓÙÖ Ö¹ÈÐ Ò Ö Ð Ø ÓÖ Ñ Û Ò lim ε ε d+ w L τ) = π) d R d B τ ˆR η ) dξdη ds η ) / τ s dte itξ FW ψ) ξ, sη ). º µ À Ò Ø Ð Ñ Ø Ó Ø ÒØ ÐÐ Ø ÓÒ w ε ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ø ÓÑ Ò D + Ú Ò Ý º µ¹ º µ¹ º µº Ì ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ó D + Ñ Ø Ø Ñ ÜÔÖ ÓÒ Û Ø η Ö ÔÐ Ý η + = + η, η )º ÅÓÖ ÓÚ Ö ÑÔÐ ÝÑÑ ØÖÝ ÓÒ Ö Ø ÓÒ Ø Ò ÓÛ Ø Ø Ø ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ó D D Ø Ñ Ø Ø Ó D + D +º Ð Ñ Ò Ø ÓÙØÐ Ò Ø ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø ÓØ Ö ÓÑ Ò Ö Ó Ö ÓÖ Ö Û Ð w ε Ö Ø Ñ Ð Ñ Ø w ε Ò Ø ØÛÓ Ø ÖÑ Ú Ñ Ð Ö ÜÔÖ ÓÒ ÙÔ ØÓ Ò Ð Ð ÕÙ ÒØ Ø º Ö Ø ÐÓÓ Ø G σ Û Ò α = Ñ ØÓ Ò Ø Ø Ø Ø Ð Ñ Ø Ö ÒØ Ò Ø ÜØÖ ε α s Ø ÖÑ ÒÓÛ Ó ÓÖ Ö ÓÒ º Ì Ø ÖÑ ØÙ ÐÐÝ ÔÔ Ö Ò Ø Ò Ð ÜÔÖ ÓÒ Ø Ö Ù Ò Ø ÓÙÖ Ö¹ÈÐ Ò Ö Ð ÕÙ Ð ØÝ Ð Ò Ø Ö ÓÖ ØÓ Ø Ñ ÜÔÖ ÓÒ w εº Ì Ò Ø Ø ÓÒº º Ì α, ] Ì ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø ÓÑ Ò D D Ò D 3 Ò ØÖ Ø Û Ø ÓÑ ÑÓ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÒ º½ º¾ Û ÐÐ Ä ÑÑ º½ Ò º¾ Ó Ø ÔÔ Ò Üº Ì d 4 Ö Ð Ø Ú ÐÝ ØÖ Ø ÓÖÛ Ö Û Ð Ø d = Ò d = 3 Ö ÕÙ Ö Ð ØØÐ ÑÓÖ ØØ ÒØ ÓÒº ÁÒ ÐÐ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÒØ ÐÐ Ø ÓÒ ÔÖÓÚ ØÓ ÓÒÚ Ö ØÓ Þ ÖÓ ÓÖ ÒÝ δ, d)º Ï Ó ÒÓØ Ó ÒØÓ ÙÖØ Ö Ø Ð º Ï Ö Ñ Ò ÐÓÛ Ø Ò Ò ÓÖÑ Ð Ð Ú Ð ÓÖ Ø Ö Ú Ø ÓÒ Ó ÓÔØ Ñ Ð Ø Ñ Ø Û Ò δ = º ÐÖ Ý Ñ ÒØ ÓÒ Ò Ø ÓÒ Ø ÒÓØ Ò ÖÝ ØÓ Ú Ø ÓÑ Ò D+ ÒØÓ Ú Ö ÓÙ Ù ÓÑ Ò Û Ò δ = Ò Ø ÔÓÛ Ö Ô ØÖÙÑ ÓÙÒ º Ï Ø Ò ÓÒÐÝ ÓÒ Ö Ø ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø ÒØ ÐÐ Ø ÓÒ Ò D+ Ø Ø Û ÒÓØ Ý w Ò Ò Ö Ð Þ Ø Ö ÙÐØ ØÓ Ø ÓØ Ö ÓÑ Ò Ó ÒØ Ö Øº Ï Ø ÖØ ÖÓÑ ÜÔÖ ÓÒ º µº ÙÑ Ö Ø α < º ÁØ Ð Ö ÖÓÑ Ø Ù ÓÒ Ó Ø ÓÒ º½ Ò Ø Ø Ø Ð Ò Ø ÖÑ Ò F ε F ε Ò Û Ø Ö ÓÖ ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÙÖ ØØ ÒØ ÓÒ ÓÒ Ø ÓÐ Ø ÖÑ ÓÖÑ ÐÐÝ Ò Ð Ø Ò Ø Ö Ñ Ò Öº Ì ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÒØ ÐÐ Ø ÓÒ ÒÓØ Ý w Lº Ï Ô Ö ÓÖÑ Ø Ð Ð Ò Ó Ú Ö Ð η η = η η ) + ε α η

31 Ò Ò η ε = η η ) + ε α η, η ) Û ÐÐ η = η η ), η ) ξ =, ξ )º ÓÖ Ò ØÓ º¾µ Û Ú Ò ÓÖÑ ÐÐÝ Û Ö Ì ÑÔÐ Ø Ø a ε ξ ε, tξ ε sη ε, [z ε ]) = a ξ, tξ sη, [z]) + oε), a u, v, [z]) = ψ z)fw )u, v), [z] = η, τ), ψ z) = σ ϕ + σ )τη + τq, q ) + σ )η. F ε τ, ξ ε, η) = σ =± Ψ η ε ) = ε α η η ) / + oε α ). τε α tε α ÓÒ ÕÙ ÒØÐÝ w L Ö w L τ) = ε d α)+α ) dtds exp {isξ η /} exp { } itξ { exp isη η ) /} a ξ, tξ sη, [z]) + oε), := F ε τ, ξ, ξ, η, η ) + oε). = ε d α)+α ) R d R d +oε d α)+α ) ), ½ dξdη π) d ½ D ˆR,ε η ) F τ, ε ξ ε, η ε ), dξdη π) d ½ Rη )½ B η ) ˆR η ) Fτ, ε ξ, ξ, η, η ) Û Ö D,ε = {η R d, η ε D }º Ì ÓÙÖ Ö¹ÈÐ Ò Ö Ð Ø ÓÖ Ñ Ø Ò Ý Ð w L τ) = ε d α)+α ) w,ε τ) + oε d α)+α ) ), τε α tε α dξ dη dtds w,ε τ) = ˆR η ) π) d ) η ) / a ξ, tξ sη, [z]). R d B ËÙÔÔÓ Ö Ø Ø Ø d 3º È Ò ÓÖÑ ÐÐÝ ØÓ Ø Ð Ñ Ø Ò Ø Ð ØØ Ö ÕÙ Ø ÓÒ Ú lim ε ε d α) α ) w L τ) = dξ dη dtds ˆR η ) π) d ) η ) / a ξ, tξ sη, [z]). º½µ R d B Ï Ð Ñ Ø Ø ÖÑ ÓÒ Ø Ö Ø Ò Ø º Ï ÓÒÐÝ Ú Ö Ý Ø ÓÖ t Ø Ö Ñ Ò Ò Ô ÖØ Ó Ø ÒØ Ö Ð ÓÐÐÓÛ Ò Ö ØÐݺ ÆÓØ Ö Ø Ø Ø Ò ϕ SR d ) ψ C η.

32 ¾ º Ä Æ Çº ÈÁÆ Í Ì Ø ØÓ Ø Ö Û Ø Ø Ò Ó Ú Ö Ð Ò ÓÖ Ö s sη ) ξ t ξ ξ ξ + sη ) η ÑÔÐ n R d C C B R d B dξ dη dtds ˆR η ) π) d ) t d η η ) / a t ξ, ξ sη η ), [z]) B dη η η ) + η η ) / η η ). dtdsdξ dη ˆR η ) η π) d ) t d η η ) / + ξ + s ) n, Ì Ð Ø ÒØ Ö Ð Ò Ø Ò Ý Ò Ø ÓÒ η η ) + η = η η )º Ì d = Ö ÕÙ Ö Ð ØØÐ ÑÓÖ ÛÓÖ º Ï Ø ξ t ξ Ò Ô Ö ÓÖÑ Ò ÒØ Ö Ø ÓÒ Ý Ô ÖØ Ò t Û Ò t º ÁØ ÓÑ Û Ø Ó Ú ÓÙ ÒÓØ Ø ÓÒ w,ε τ) = w,ετ) = H ε t) = τε α dt + τε α R d B dt := w,ετ) + w,ετ), H ε t) dt = log τε α) H ε τε α ) t tε α τε α H ε ) t)dt, º¾µ dξ dη ds π) ˆR η ) η ) / a t ξ, ξ sη, [z]). ÁØ ÒÓØ ÙÐØ ØÓ Ø Ø w,ε Ò Ø ÓÒ Ø ÖÑ ÓÒ Ø Ö Ø Ó º¾µ Ö Ó ÓÖ Ö ÓÒ ÓÑÔ Ö ØÓ εº ε Û Ú H ε τε α ) R d B dξ dη ds π) d ) ˆR η ) a, ξ sη, [z]), Ò Ø Ö ÓÖ Ð Ó Ó ÓÖ Ö ÓÒ ÓÑÔ Ö ØÓ εº Ì Ö ÓÖ Û Ò d = Ø Ð Ò Ø ÖÑ Ú Ò Ý Ø ÓÒ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ log τε α lim ε ε α) α ) log τε α ) w L τ) = dξ dη ds ˆR η ) π) η ) / a, ξ sη, [z]). º µ R B À Ò Ø Ð Ñ Ø Ó Ø ÒØ ÐÐ Ø ÓÒ w ε ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ø ÓÑ Ò D + Ú Ò Ý º½µ¹ º µº Ì ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ó D + Ñ Ø Ø Ñ ÜÔÖ ÓÒ Û Ø η Ö ÔÐ Ý η + = + η, η ) Ò ÑÔÐ ÝÑÑ ØÖÝ ÓÒ Ö Ø ÓÒ Ø Ò ÓÛ Ø Ø Ø ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ó D D Ø Ñ Ø Ø Ó D + D +º ÌÓ ÓÒÐÙ Ø > α > Û Ò ÐÐÝ Ð Ñ ÓÖ Ø Ø w ε Ö Ø Ñ Ð Ñ Ø w εº Ì Ò Ø α, )º

33 º Ì d = º Ì d = Ô ÖØ ÙÐ Ö Ò Ø Ò Ø Ø ξ Ò η Ö ÐÛ Ý Ð Ò Û Ø q º ËØ ÖØ Ò ÖÓÑ ÜÔÖ ÓÒ º µ Ø ÑÔÐ Ø Ø F σ Ö τ ε α Fσ ε t { } i τ, ξ, η) = dtds exp { iσ ε α sξη/} exp { itξ}exp ε αsψ σ η) a ε ε α ξ, ε α tξ sη,[z ε ] ), º½µ Ψ σ η) = η + σ η, [z ε ] = τ, t, ε α s, εξ, η, σ ). Ê ÐÐ Ø Ø q = Ó Ø Ø Ø Ô Ψ σ Ú Ò Ø ÔÓ ÒØ η = Ò η = σ = ±q º Ì ÓÖ Ò Ø Ö ÓÖ Ò ÙÐ Ö ØÝ Ò Ø ÑÙÐØ Ñ Ò ÓÒ Ð Ò Ö ÕÙ Ö Ö ÙÐ ØÖ ØÑ Òغ ÐÐ Ø Ñ Ø Ó Ó Ø α Ó Ø ÓÒ º½µ¹ º¾µ¹ º µ ÖÖÝ ÓÒ ØÓ d = Û Ø ÓÑ ÑÔÐ Ø ÓÒ ÓÖ Ò Ø Ò ÓÒÐÝ Ø Ö Ù ÓÑ Ò Ò η Ö Ò Öݺ ÁØ Ø Ò ÒÓØ ÙÐØ ØÓ ÓÛ Ø Ø Û Ò α > δ, d) ÔÓ ÒØÛ Ò τ w ε τ). Ï Ò δ = Ø ÓÖ Ò ÒÓ ÐÓÒ Ö Ò ÙÐ Ö ØÝ Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ò Ð Ð º ÁÒ Ø Û Ò α, ) Û Ò ÓÖ Ø ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø Ù ÓÑ Ò ÒÐÙ Ò q ÒÓØ Ý w µ dξdη lim ε ε α w τ) = R π) ˆR τ q ) exp { itξ} exp {isηq } a, sq ), Û Ö a = FW ψ) Û Ø ψx, p) = σ ϕ τ t) + σ )q + τq, q + σ )q ). σ =± Í Ò Ø ÓÙÖ Ö ÈÐ Ò Ö Ð ÕÙ Ð ØÝ Ø ÓÑ lim ε ε α w τ) = 4 q τ dtds ˆR q ) a, s) := wα τ). º¾µ Ë Ò ˆR Ò Ú Ò ÙÒØ ÓÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ø Ø Ø ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø Ù ÓÑ Ò Ö Ð Ø ØÓ q Ø Ø Ñ Ð Ñ Øº ÅÓÖ ÓÚ Ö Ø ÓÒ ÒØ ÐÐ Ø ÓÒ wε Û Ó ÜÔÖ ÓÒ Ú Ò Ø Ø Ò Ó Ø ÓÒ º¾ Ò ÕÙ Ð ØÓ Ø Ø Ó wε ÙÔ ØÓ Ú Ò Ò Ø ÖÑ Ø Ø Ð Ñ Ø Ð Ó ÓÒÚ Ö ØÓ Ø Ñ Ð Ñ Øº ËÙÑÑ Ò ÙÔ Ø ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ø ÑÔÐ Ø Ø ε α w ε ÓÒÚ Ö ÔÓ ÒØÛ ØÓ Ø w α Ò Ò º¾µº Ï Ò α = Ø Ð Ñ Ø Ò ÜÔÖ ÓÒ ÓÑ lim w τ) = ˆR q ) τ τ ε 8π q dsdξ exp { itξ}a ξ, s) := w τ), º µ Û Ö ÒÓÛ ψx, p) = σ =± R s σ ϕ x τ t) + σ )q + τ s)q, q + σ )q ).

34 º Ä Æ Çº ÈÁÆ Í Ò Ø ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ö Ð Ø ØÓ q Ø Ñ ÜÔÖ ÓÒº Ê Ö Ò wε Ö Ø ÐÓÓ Ø G σ Ñ ØÓ Ò Ø Ø Ø Ø Ð Ñ Ø Ö ÒØ Ò Ø ÜØÖ ε α Ø ÖÑ Ö ÒÓÛ Ó ÓÖ Ö ÓÒ º Ì Ý ØÙ ÐÐÝ ÔÔ Ö Ò Ø Ò Ð ÜÔÖ ÓÒ Ù Ò Ø ÓÙÖ Ö¹ÈÐ Ò Ö Ð ÕÙ Ð ØÝ Ð Ò Ø Ö ÓÖ ØÓ Ø Ñ ÜÔÖ ÓÒ wεº Ï Ò α = Ø Ö ÒÓ ÐÓÒ Ö ÐÓ Ð Þ Ø ÓÒ Ø Ø Þ ÖÓ Ó Ψ σ η) Û Ö Ò Ö Ø Ò ÐÝ ÑÔÐ Öº Ï Ó Ø Ò lim ε ε w τ) := τ σ Û Ö ÒÓÛ σ =± ψx, p) = σ =± dξdη R π) ˆR η) dtds exp { itξ}exp {isψ σ η)} a, tξ sη) σ ϕ τ t)σ σ )η + τp + q ), p + q + ) σ σ )η. := w τ). Ø Ö Ø Ò Ó Ú Ö Ð sη sη + tξ Ò Ø ÓÙÖ Ö¹ÈÐ Ò Ö Ð ÕÙ Ð ØÝ Û Ò τ w dη τ) = 4 π η ˆR η) σ ds exp {isψ σ η)} a, sη). º µ R σ =± Ò w ε ÓÒÚ Ö ØÓ Ø Ñ Ð Ñ Øº Ì Ò Ð Ö ÙÐØ Ó Ø Ø ÓÒ Ø Ö ÓÖ Ø Ø ÔÓ ÒØÛ Ò τ lim ε ε α w ε τ) = w α τ), Û Ö w α Ò Ò º¾µ¹ º µ¹ º µº º ÔÔ Ò Ü Ä Ø ϕ SR d ) x, p, ξ, η, τ, t, s) R d R d R d R d R R R Ò Ò ψ ε x, p,[z]) = σ ϕ ε α x + τ t)σ ε α ξ ε r η) + τq + ε α p) + σ τ t + ε h s)ε r η, σ =± q + ε α p + σ ε α ξ ε r η) + ) σ ε r η, º½µ ÓÖ ÓÑ Ô Ö Ñ Ø Ö α, r, h) [, ] 3 º ÓÚ Û Ù Ù Ù Ð Ø ÓÖØ Ò [z] = τ, t, s, ξ, η, σ )º Ä Ø W SR d ) Ò a ε u, v, [z]) = FW, )ψ ε,, [z]))u, v), Û Ö F ÒÓØ Ø ÓÙÖ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ x Ò pº ÓÐÐÓÛ Ò Ð ÑÑ Ï Ú Ø

35 Ä ÑÑ º½º n Ø Ö Ü Ø C n > Ù Ø Ø ÓÖ k, l =, ) t k sa l ε ξ, ε γ tξ ε r sη,[z] º¾µ C n ε kγ +lr ξ k + ε lh+r) ε α ξ ε r η k + ε r η k ) + ξ + ε γ tξ ε r sη ) n η l ε α ξ ε r η, ÔÓ ÒØÛ Ò ξ, η, τ, t, s) R d R d R 3 º ÈÖÓÓ º Ï ÖÓÔ Ø Ô Ò Ò ÓÒ [z] ÓÖ ÑÔÐ Øݺ Ë Ò ϕ SR d ) Ø Ð Ö Ø Ø Ø Ö Ü Ø ÓÒ Ø ÒØ C > Ù Ø Ø ÓÖ ÐÐ ÑÙÐØ ¹ Ò i Ò j ÓÖ k, l =, ÙÒ ÓÖÑÐÝ Ò x, p, t, s) i x j p k t l sψ ε x, p) Cε lh+r) ε α ξ ε r η k + ε r η k ) η l ε α ξ ε r η. º µ ) t k sa l ε ξ, ε γ tξ ε r sη = ] ) [ε γ ξ v ) k ε r η v ) l a ε ξ, ε γ tξ ε r sη +FW k t l sψ ε )ε γ tξ ε r sη), := a + a. Í Ò º µ Û Ø k = l = ØÓ Ø Ö Û Ø W SR d ) Ø Ö Ü Ø C n > Ù Ø Ø n a ξ, ε γ tξ sε r η) C n ε γ ξ k ε r η l + ξ + ε γ tξ ε r sη ) n ε α ξ ε r η. ÁÒ Ø Ñ Û Ý Û Ò ÓÖ a a ξ, ε γ tξ sε r η) C n ε lh+r) ε α ξ ε r η k + ε r η k ) η l + ξ + ε γ tξ ε r sη ) n ε α ξ ε r η. Ø Ö Ò Ø Ð Ø ØÛÓ Ø Ñ Ø Ò Ø ÔÖÓÓ º Ú Ò A, B,Ψ) R 3 ξ, η) R d R d Û ØÙ Ý Ô Ö Ñ ØÖ Þ Ó ÐÐ ØÓÖÝ ÒØ ¹ Ö Ð ÓÖ Ø ÓÖÑ ÓÖ Ø α [, ] Iξ, η) = τ ε a t dtds exp { isa} exp{ itb} exp {isψ} f t, s, ξ, η), Û Ö a º Ë Ò Ò ÓÙÖ Ò ÐÝ I Ò ØÓ ÒØ Ö Ø Û Ø Ö Ô Ø ØÓ A, B,Ψ, ξ, η) Û Û ÐÐ Ó Ø Ò ÜÔÐ Ø ÓÙÒ ÓÖ Ò ØÓ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö º ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Û Ö ÒØ Ö Ø Ò ÓÒØÖÓÐ ÓÖ Ð Ö Ú ÐÙ Ó B Ò Ψ ÓÖ Ø Ø ÓÒ ÖÝ Ô Ø Ò ÕÙ º Ï ÙÑ Ø Ø f C R d+ ) Ò Ø Ø Ø Ñ Ø Ó Ð ÑÑ º½º Ì ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ α [, ] ÒÚÓÐÚ ÒØ Ö Ð Ó Ø ÓÖÑ τε α ε α t dtds exp { isa} exp{ itb} exp {isψ} f t, s, ξ, η) Ø Ø Ö ÕÙ Ö ÓÑ ÑÓ Ø ÓÒ Ò Ø Ò ÐÝ Ø Ø Û Û ÐÐ ÒÓØ ÔÙÖ Ù º Ï Ú Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ö ÙÐØ

36 º Ä Æ Çº ÈÁÆ Í Ä ÑÑ º¾º n Ø Ö Ü Ø C n > Ù Ø Ø I Ø Ø Ø Ñ Ø ÔÓ ÒØÛ Ò A, B,Ψ) R 3 ξ, η) Rd R d Û Ö I C n ξ n I I I 3 I 4, ½ Û Ò r = r = a = h = α γ = α I =, I = Ψ ε α + A + η ), I 3 = B + ξ + η ), I 4 = BΨ ε α B + + A + η ) + ξ + η ) ). ¾ a = h = γ = α I = ε α ξ ε r η, I 4 = I, I I 3 = Ψ + A + ε r r η ) ε α ξ ε r η, = B + ξ + ε r η ) ε α ξ ε r η. ÈÖÓÓ º ÓÖ ÓÒÚ Ò Û ÓÑ Ø Ø Ô Ò Ò Ó f ÓÒ ξ, η) Ò Ö Ø I I = τ dt exp { itb} Ft), Ft) = Gt, s) = exp { isa}exp {isψ} ft, s). ε α t ds Gt, s), ½ r = r = a = h = α γ = αº Ï Ø Ñ Ø Ö Ø I ÓÖ ÓÙÒ Ú ÐÙ Ó B Ò Ψº Ï Ú Ù Ò Ä ÑÑ º½ Û Ø k = l = n F C tε α tε α ε α ξ η ds + ξ + ε γ tξ sη ) n, tε α ε α ξ C ds + ξ + ε γ tξ sη ) n + C η ds + ξ + ε γ tξ sη ) n, := F + F. º µ Ë Ò α Ò t τ Ø ÓÑ Ø Ø F Ctε α ξ n C ξ n. º µ ÓÖ Ú ØÓÖ v R d Ò j =,, d Û ÒÓØ Ý ṽ j R d Ø Ú ØÓÖ Û Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ ṽ j = v,, v j, v j+,, v d ) T º Í Ò Ø ÒÓØ Ø ÓÒ Û Ú ÓÖ F n d tε α η j F C ds º µ + ξ + ε γ t ξ j s η j + ε γ tξ j sη j ) n, C j= d j= R ds + ξ + ε γ t ξ j ξ j ηj η j ) sηj η j + s ) n C ξ n ). ÓÒ ÕÙ ÒØÐÝ Û Ó Ø Ò Ø Ö Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÙÒ ÓÖ I ÓÖ ÐÐ n Ø Ö Ü Ø C n > Ù Ø Ø I C n ξ n. º µ

37 ÌÓ ÓÒØÖÓÐ I ÓÖ Ð Ö Ú ÐÙ Ó Ψ Û Ò ÒÓØ Ö Ø Ñ Ø º ÁØ Ó Ø Ò Ý Ô Ö ÓÖÑ Ò Ò ÒØ Ö Ø ÓÒ Ý Ô ÖØ ÛºÖºØº s Ò Fº Ï ÓÑÔÓ Û Ö F := F + F, F t) = iψ Gt, ε α t), F t) = iψ ε α t º µ ds exp {isψ} s [exp { isa} ft, s)]. Í Ò º¾µ Û Ø k = l = Ò Ø Ò Ó Ú Ö Ð t tε α F Ø Ñ Ø τ τε α dt F t) Cε a Ψ ε α ξ η dt + ξ + t ε γ +α ξ η ) n, Cε α Ψ dt + ξ + t ) n εα Ψ ξ n ). º µ ÓÚ Û Ù Ø Ø Ø Ø γ + a = αº F Ø Ñ Ø Ù Ò Ø Ñ Ñ Ø Ó 8.6) ÐÓÒ Û Ø º¾µ Û Ø k = l = Ø ÓÒÐÝ Ö Ò Ø Ø exp { isa} ft, s) Ö ÔÐ Ý s [exp { isa} ft, s)]º Ï Ò τε b dt F t) C Ψ ξ n A + η ). ÌÓ Ø Ö Û Ø º µ Ø Ú ÓÒ Ø Ñ Ø ÓÖ I n C n Ψ ξ n I ε α + A + η. º½¼µ ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ ÓÒØÖÓÐ I ÓÖ Ð Ö B Û Ô Ö ÓÖÑ Ò ÒØ Ö Ø ÓÒ Ý Ô ÖØ ÛºÖºØº t Ò Iº ÁØ ÓÑ I := I + I + I 3, Û Ö I = I 3 = ib ib exp { ibτ} Fτ), I = ibε α τ tε α dtds exp { itb} t Gt, s). τ dt exp { itb}gt, ε α t), ÌÓ ÓÒØÖÓÐ I Û Ù Ø ÓÑÔÓ Ø ÓÒ 8.4) Û Ø t Ö ÔÐ Ý τ Ò ÓÐÐÓÛ Ø Ñ Ð Ò º Ï Ò I C B ξ n. º½½µ ÓÖ I Û Ø t ε α t Ò Ó Ø Ò Ù Ò º¾µ Û Ø k = l = ÓÖ ÒÝ n τε α I C B ξ n ε α ξ η dt + t ε γ +α ξ η ) ) n, C B ξ n dt + t ) n C B ξ n. º½¾µ

38 º Ä Æ Çº ÈÁÆ Í ÓÚ Û Ù Ò Ø Ø Ø Ø γ +a = αº I 3 ØÖ Ø Ò Ñ Ð Ö ÓÒ Ø Ö Ø Ø Ñ Ø º µº Ì ÓÒÐÝ Ö Ò Ø Ø G ØÓ Ö ÔÐ Ý t Gº Ï Ò Ù Ò º¾µ Û Ø k = Ò l = I 3 C B ξ n ξ + η ). ÌÓ Ø Ö Û Ø º½½µ Ò º½¾µ Ø Ý Ð Ø Ø Ö Ø Ñ Ø I C n + η + ξ ) B ξ n. º½ µ ÁØ Ö Ñ Ò ÒÓÛ ØÓ Ó Ø Ò ÓÙÒ Ø Ø ÐÐÓÛ Ù ØÓ ÓÒØÖÓÐ Ø Ð Ö Ú ÐÙ Ó ÓØ Ψ Ò Bº ÓÖ Ø Û Ô Ö ÓÖÑ Ò ÒØ Ö Ø ÓÒ Ý Ô ÖØ ÛºÖºØº s Ò I Ò I 3 Ò ÛºÖºØº t Ò I º Ì Ø ÖÑ I ÒÚÓÐÚ Fτ) = iψ Gτ, ε α τ) iψ ε α τ Ì Ö Ø Ø ÖÑ Ö ØÐÝ Ø Ñ Ø Ý ds exp {isψ} s [exp { isa} fτ, s)]. Gτ, ε α τ) C ξ n ε α ξ η C ξ n ξ + η ). ÓÖ Ø ÓÒ Û ÔÖÓ ÓÖ º µ¹ º µ Ü ÔØ Ø Ø f Ö ÔÐ Ý Ø Ü¹ ÔÖ ÓÒ s [exp { isa}fτ, s)]º Ï Ø Ò Ò ÓÖ I C B Ψ ξ n I + A + η + ξ. º½ µ Ê Ö Ò I Ø Ö Ò ÒØ Ö Ø ÓÒ Ý Ô ÖØ Ò t Û Ú Û Ø I := I + I I = BΨ exp { iτψ}gτ, ε α τ), I = Ï Ò Ö ØÐÝ BΨ ε α τ ÓÖ I ÓÖ Ò ØÓ º¾µ Û Ú t [exp { iε α tb} fε α t, t)] C dt exp {itψ} t [exp { iε α tb} fε α t, t)]. I C BΨ ξ n ξ + η ). º½ µ ) ε α ε α ξ ε r η B + ξ + η + t ε γ +α ξ η ) ) n, Ó Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ñ Ø Ò ÕÙ º µ Ò Ø Ø Ø Ø α + γ = α I C BΨ ξ n ε α B + ξ + η ). º½ µ I 3 ØÖ Ø Ò Ñ Ð Ö Ñ ÒÒ Ö F ÓÑÔÓ F + F Ò º µ Ò ÓÖ Ö ØÓ Ó Ø Ò º½¼µ ÓÒÐÝ G Ò ØÓ Ö ÔÐ Ý t Gº Ï Ò ÐÐÝ Ò C BΨ ξ n I 3 ε α + A + η ) ξ + η ). Ø Ö Ò º½ µ¹ º½ µ¹ º½ µ¹ º½ µ Ø ÔÖÓÚ Ø Ð Ø Ø Ñ Ø º½ µ C n BΨ I ξ n ε α B + + A + η ) + ξ + η ). º½ µ Ì Ð ÑÑ ÔÖÓÚ Ý Ø Ò Ø Ø Ø Ñ Ø ÑÓÒ º µ¹ º½¼µ¹ º½ µ¹ º½ µº